اگر $T$ یک تبدیل خطی باشد آنگاه ثابت کنید $\ker T={0}$ اگر و تنها اگر $T$ یک به یک باشد.

Question

اگر $T:V\to W$ یک تبدیل خطی باشد آنگاه ثابت کنید $\ker T={0}$ اگر و تنها اگر $T$ یک به یک باشد.

باید از فرض مسئله استفاده کنیم تا بتوانیم این رابطه دو طرفه را ثابت کنیم.

Comments

@nkar الآن این جملهٔ آخر متن پرسش‌تان دقیقا چه چیز مفیدی یا اضافه‌تری از خود متن پرسش دارد؟ به چنین جمله‌ای تلاش برای حل پرسش‌تان نمی‌گویند چون به تلاشی اشاره نمی‌کند. مانند این است که بگوئید «پرسش: اگر الف برقرار باشد ثابت کنید ب». بعد بگوئید تلاش من برای حل پرسش این بوده‌است «باید از الف استفاده شود و ب را ثابت کرد». خب؟

Answer 1

فرض کنید $\ker T=\{0\}$ و $Tx=Ty$ در اینصورت از خطی بودن $T$ داریم $T(x-y)=0$ و لذا $x-y\in \ker T=\{0\}$ پس $x-y=0$ یا $x=y$.

اگر $T$ یک به یک باشد و $x\in\ker T$ در اینصورت $Tx=0$ اما در هر تبدیل خطی داریم $T0=0$ بنابراین $Tx=T0$که از یک به یکی نتیجه می شود $x=0$.

Comments

@nkar زمانی که به پرسشی از شما پاسخ داده می‌شود اگر درست است و مشکل‌تان رفع شده‌است باید تیک تأیید سمت راستش را کلیک کنید. اگر مشکلی دارد یا جایی از آن را متوجه نمی‌شوید در قالب دیدگاه زیر آن به مشکل‌تان اشاره کنید. اگر چند پاسخ صحیح بود آنگاه یکی را تأیید می‌کنید. از پرسش‌هایی که پاسخ‌ گرفته‌اید حتی یکی هم تیک تأیید نزده‌اید.