آیا نمایش اعشاری عدد $1.\bar{9}$ پایان دار است یا دوره ای؟

Question

وقتی کسر متناظر با عدد $1.\overline{9}$ را بنویسیم، به عدد ۲ می‌رسیم. یعنی این عدد دقیقا برابر با ۲ است و ۲ مختوم است. شخصا فکر می‌کنم این عدد مختوم است. علم ریاضی چه می‌گوید؟ $1.\overline{9}$ متناوب ساده است یا مختوم؟

Comments

ببینید عدد ..۱٫۹۹۹ در واقع شکلی دیگر از عدد ۲ است. و باید متناوب باشد.

---

@Ratmin عدد ۱.۹۹۹۹۹ آشکارا برابر با ۲ نیست، عددی که گفته‌شده‌است برابر با ۲ است عددِ $1.\bar{9}$ است که درست است.

---

سلام
بله برای همین 3 نقطه بعدش گزاشتم چون دستور لاتکس بار رو نمیدونستم

---

@Ratmin کجای تعریف $1.\bar{9}$ می‌گوید که عدد حقیقی مثبت $\epsilon$ای موجود است که $1.\bar{9}<2-\epsilon$؟ چنین چیزی در تعریف این عدد نیست، لذا چنین ادعایی نیاز به اثبات دارد که اتفاقا به خاطر اثبات‌هایی که در همین سایت نیز می‌توانید بیابید برعکس آن درست است، یعنی فاصلهٔ ۲ و $1.\bar{9}$ دقیقا برابر صفر است و هیچ عدد مثبتی کوچکتر از فاصلهٔ این دو عدد وجود ندارد. تنها زمانی ادعای شما درست است که دوره (تناوب) را از جایی به بعد قطع کنید، که در اینصورت در حال صحبت کردن از $1.\bar{9}$ نیستید بلکه تقریبی از آن را برداشته‌اید، که اتفاقا تقریبی برای ۲ نیز است.

---

https://fa.m.wikipedia.org/wiki/۰٫۹۹۹‎…

Answer 1

پرسش شما شبیه به این است که بگوئیم آیا ۲ عددی صحیح است یا عددی گویا؟

هر عدد با نمایش اعشاریِ پایان‌دار (مختوم) دارای نمایش دوره‌ای (چه ساده یا غیر ساده) نیز است. چیزی که درست نیست برعکس آن است یعنی هر عدد با نمایش اعشاریِ دوره‌ای (متناوب) الزاما نمایش پایان‌دار ندارد. پس اینطور نیست که مجموعهٔ عددهای حقیقی با نمایش پایان‌دار و مجموعهٔ عددهای حقیقی با نمایش دوره‌ای دو مجموعهٔ مجزا از هم هستند (اشتراک تهی)، بلکه مجموعهٔ یکُم زیرمجموعه‌ای از مجموعهٔ دوم است. همانطور که هر دوی ۲ و $2.\bar{0}$ یک عدد هستند، $1.\bar{9}$ نیز با هر دو نمایش یاد شده یعنی $2$ و $2.\bar{0}$ برابر است. در واقع می‌توانید برای هر عدد دلخواهی که می‌خواهید از مجموعهٔ یکُم، پس از آخرین رقم سمت راستش در اعشارش $\bar{0}$ بیفزائید یا یک واحد از آخرین رقم بکاهید و پس از آن $\bar{9}$ بیفزائید.