بسط اعشاری یک عدد گویا باید از مرحله ای به بعد تکرار شود.

Question

با استفاده از اصل لانه کبوتری ثابت کنید باید بسط اعشاری یک عدد گویا از مرحله ای به بعد تکرار گردد.

Answer 1

می دانیم هر عدد گویا بصورت $ \frac{a}{b} $ است که برای بدست آوردن عدد اعشاری آن باید $ a $ را بر $ b $ تقسیم کنیم سپس باقیمانده را دوباره بر $ b $ تقسیم میکنیم و باز باقیمانده ی تقسیم را بر $ b $ بدست می آوریم و این عمل را تکرار میکنیم .

در هر مرحله باقیمانده یکی از اعضای مجموعه ی $\{0,1,...,b-1\} $ است و اگر ما تعداد اعمال بالا را $ b+1 $ بار انجام دهیم $ b+1 $ باقیمانده خواهیم داشت(کبوتر) و تعداد اعضای مجموعه ی بالا $ b $ عضو (لانه) هستند لذا طبق اصل لانه ی کبوتری باقیمانده ای تکراری داریم فرض کنید باقیمانده تکراری $ c $ باشد و از مرحله ی دوم $ c $ بدست آمده دقیقا باقیمانده های تکراری مثل باقیمانده های بعد از اولین مرحله که$ c $ بدست آمد، بدست می آید.