آیا احتمال دیدن یک عدد دلخواه در بسط اعشاری عدد $\pi$ محاسبه شده است؟

Question

با توجه به اینکه عدد پی یک عدد گنگ است و ارقام بعد از اعشار فاقد هیچگونه قاعده است، احتمال اینکه یک سری اعداد دلخواه ( مثلا توالی ۱۲۳۴۵۶۷۸۹) در آن دیده شود چقدر است؟ آیا میتوان گفت چون بینهایت توالی گوناگون پس از اعشار تشکیل میشود، بنابرین قطعا این توالی نیز بخشی از عدد پی است؟

Answer 1

چند نکته:

1. گنگ‌بودنِ یک عدد دلیلی بر یافت‌شدنِ هر عددی در بسط اعشاری‌اش نمی‌شود. برای نمونه عدد $a$ را اینگونه بسازید که رقم پیش از اعشار آن صفر و پس از اعشار به ترتیب $n$ تا صفر و سپس یک دانه ۱ داشته باشد که $n$ از صفر شروع شده و در هر گام یک واحد افزوده می‌شود. پس ابتدایِ این عدد به شکل زیر است:

$$a=0.101001000100001\dots$$

این عدد یک عدد گنگ است ولی همانگونه که می‌بینید هیچ‌گاه هیچ عددی که ۲ تا ۹ را داشته باشد در بسط اعشاریِ آن ظاهر نخواهدشد، هر چقدر هم که بسط اعشاری‌اش را ادامه دهید فایده‌ای ندارد.

2. قاعده و نظم فقط به معنای از جایی به بعد دارای تکرار شدن (متناوب‌شدن) نیست! بنابراین یک عدد گنگ نیز می‌تواند برای رقم‌هایش نظم و اُلگو داشته باشد. مانند عدد $a$ در بالا. تنها چیزی که می‌توانید بگوئید این است که هیچ گاه از جایی به بعد متناوب نمی‌شود.

در نتیجه جملهٔ نخست و جملهٔ آخرتان هر دو گزاره‌ای نادرست هستند. تنها جملهٔ میانی‌تان درست است. بلی عدد ۱۲۳۴۵۶۷۸۹ در بسط اعشاریِ عدد $\pi$ ظاهر می‌شود. دلیل این حرف نیز این است که برخی با رایانه تا تعداد زیادی از رقم‌های پس از اعشار عدد $\pi$ را محاسبه و ذخیره کرده‌‌اند و سپس یک الگوریتم جستجوی ساده طراحی کرده‌اند که می‌توانید یک عدد به آن بدهید و برایتان بگردد تا جایی که فعلا محاسبه شده و ذخیره شده و اگر پیدا شد به شما بگوید. برای نمونه عدد مورد نظر شما بنا به گفتهٔ این موتور جستجو (https://www.atractor.pt/mat/fromPI/PIsearch-_en.html) در مکانِ 523551502 رقم پس از اعشار در عدد $\pi$ دیده می‌شود. توجه کنید که اثباتی برای یافتن هر عددی نیاورده‌ایم، صرفا یک جستجو در قسمتی که تا الآن محاسبه‌شده در دسترس داریم انجام داده‌ایم!

و اما اکنون پرسش شما. یک عدد را در پایهٔ $b$ یک عدد نرمال می‌گوئیم اگر پس از نوشتن بسط آن در مبنای $b$، اگر نسبت ظاهرشدن هر یک از $b$ عدد ۰ و ۱ و ۲ و ... و $b-1$ در اعشارش با هم برابر باشند که $\frac{!}{b}$ می‌شود. حدس زده می‌شود که $\pi$ یک عدد نرمال در مبنای ۱۰ باشد ولی اثبات نشده‌است. زمانی که هنوز احتمال و توزیع تک‌رقمی‌ها در بسط اعشاری عدد $\pi$ سوال است، احتمال و توزیع عددهای با درازای بیشتر هم به دنبالش سوال هستند.

Comments

@mort مشکلی با این پاسخ دارید که امتیاز منفی دادید یا احتمالا مشکل با من دارید؟ @admin

---

@mort
امتیاز منفی شما چه کمکی به حل مساله کرد؟
به ازای هر امتیاز منفی به پاسخ ها، خود نیز چند امتیاز منفی میگیرید. این مورد را به این دلیل گذاشتیم که صرفا بجای دادن امتیاز منفی به حل مساله و بهتر شدن پاسخ کمک کنید.

---

@mort چرا ما در دبیرستان و حتی در دانشگاه درس ادبیات فارسی داریم؟ اصلا چرا ادبیات فارسی می خوانیم؟ چه اشکالی دارد مثلاً ما خوار و خار را یکی بدانیم؟
با سخنتان کاملاً مخالفم. هر کس که به فارسی سخن می گوید باید از املاء کلمات آگاه باشد و چه بهتر کسانی باشند که چگونه نوشتن کلمات را با توجه به معنی آنها بیاموزند.

بنده تاکنون $80$ تا پاسخ و $45$ تا سوال در این سایت قرار داده ام. هنگامی که آقای @AmirHoseim تعدادی از این سوالات و پاسخ ها را ویرایش کردند، پاسخ و سوال بنده بسیار زیباتر و قابل مفهوم تر شد. تاکنون ایشان پاسخ یا پرسشی را عوض نکرده اند بلکه به آن شاخ و برگ داده اند.

بنده حدود یکسال در این سایت هستم. اگر استاد پاسخی را به دیدگاه تبدیل کردند به این خاطر است که در پاسخ قرار داده شده استدلال کافی موجود نبوده است. و یا در دیدگاهی به پرسشگر تذکر داده اند که پاسخ کامل نیست و پرسشگر نتوانسته آن را کامل کند در نتیجه آن را دیدگاه کردند.

امتیاز های منفی هم که می دهند با یک دیدگاه توضیح می دهند. مثلاً برای اینکه عنوان پرسش دارای اشکال زیاد یا با متن پرسش متفاوت است امتیاز منفی می دهند. بنده هم با امتیاز منفی دادن در چنین مواقعی موافقم. پرسشگر باید ابتدا پرسشش برای خودش اهمیت داشته باشد. زمانی که دارای غلط املایی های بسیار یا عنوان نامناسب یا متن نامناسب یا... است یعنی این پرسش برای پرسشگر اهمیتی ندارد پس در سایت هم اهمیتی ندارد. البته گاهی با یک دیدگاه  پرسشگر پرسشش را ویرایش می کند و امتیاز منفی برداشته می شود و گاهی هم ویرایش نمی کند و لجبازی می کند که در این صورت باید امتیاز منفی بماند.

علت اینکه اکنون من به شما امتیاز منفی داده ام این است که سخنان شما فاقد صحت است.

Answer 2

بله، این مسئله با استفاده از الگوریتم‌هایی که بر پایهٔ اعداد تصادفی کار می‌کنند، قابل حل است. این الگوریتم‌ها به شما اجازه می‌دهند تا عدد π را با دقت بالا محاسبه کنید و اگر می‌خواهید یک عدد خاص را در بسط اعشاری این عدد بیابید، می‌توانید با استفاده از این روش‌ها احتمال دیدن آن عدد را محاسبه کنید.

یکی از روش‌های معمول برای این کار، الگوریتم مونته کارلو است. این الگوریتم بر اساس شبیه‌سازی تصادفی است که با استفاده از تعداد زیادی نقطه درون یک مربع و دایرهٔ مربوط به آن، مقدار π را محاسبه می‌کند.

با این روش، می‌توانید با دقت بیشتری محاسبه کنید که چه احتمالی وجود دارد تا عدد مورد نظر شما در بسط اعشاری عدد π دیده شود. اما به طور کلی، این احتمال بسیار کم است، زیرا عدد π به صورت یک عدد بدیهی نامنظم است و هیچ الگوی قابل پیش‌بینی خاصی ندارد. https://bazarmotoriran.ir/