چند نکته:
- گنگبودنِ یک عدد دلیلی بر یافتشدنِ هر عددی در بسط اعشاریاش نمیشود. برای نمونه عدد $a$ را اینگونه بسازید که رقم پیش از اعشار آن صفر و پس از اعشار به ترتیب $n$ تا صفر و سپس یک دانه ۱ داشته باشد که $n$ از صفر شروع شده و در هر گام یک واحد افزوده میشود. پس ابتدایِ این عدد به شکل زیر است:
$$a=0.101001000100001\dots$$
این عدد یک عدد گنگ است ولی همانگونه که میبینید هیچگاه هیچ عددی که ۲ تا ۹ را داشته باشد در بسط اعشاریِ آن ظاهر نخواهدشد، هر چقدر هم که بسط اعشاریاش را ادامه دهید فایدهای ندارد.
- قاعده و نظم فقط به معنای از جایی به بعد دارای تکرار شدن (متناوبشدن) نیست! بنابراین یک عدد گنگ نیز میتواند برای رقمهایش نظم و اُلگو داشته باشد. مانند عدد $a$ در بالا. تنها چیزی که میتوانید بگوئید این است که هیچ گاه از جایی به بعد متناوب نمیشود.
در نتیجه جملهٔ نخست و جملهٔ آخرتان هر دو گزارهای نادرست هستند. تنها جملهٔ میانیتان درست است. بلی عدد ۱۲۳۴۵۶۷۸۹ در بسط اعشاریِ عدد $\pi$ ظاهر میشود. دلیل این حرف نیز این است که برخی با رایانه تا تعداد زیادی از رقمهای پس از اعشار عدد $\pi$ را محاسبه و ذخیره کردهاند و سپس یک الگوریتم جستجوی ساده طراحی کردهاند که میتوانید یک عدد به آن بدهید و برایتان بگردد تا جایی که فعلا محاسبه شده و ذخیره شده و اگر پیدا شد به شما بگوید. برای نمونه عدد مورد نظر شما بنا به گفتهٔ این موتور جستجو (https://www.atractor.pt/mat/fromPI/PIsearch-_en.html) در مکانِ 523551502 رقم پس از اعشار در عدد $\pi$ دیده میشود. توجه کنید که اثباتی برای یافتن هر عددی نیاوردهایم، صرفا یک جستجو در قسمتی که تا الآن محاسبهشده در دسترس داریم انجام دادهایم!
و اما اکنون پرسش شما. یک عدد را در پایهٔ $b$ یک عدد نرمال میگوئیم اگر پس از نوشتن بسط آن در مبنای $b$، اگر نسبت ظاهرشدن هر یک از $b$ عدد ۰ و ۱ و ۲ و ... و $b-1$ در اعشارش با هم برابر باشند که $\frac{!}{b}$ میشود. حدس زده میشود که $\pi$ یک عدد نرمال در مبنای ۱۰ باشد ولی اثبات نشدهاست. زمانی که هنوز احتمال و توزیع تکرقمیها در بسط اعشاری عدد $\pi$ سوال است، احتمال و توزیع عددهای با درازای بیشتر هم به دنبالش سوال هستند.
