Question

عبارت زیر را به صورت ضرب عامل های اول بنویسید:

$(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5$

یک راه برای تجزیه استفاده از اتحادها است که خیلی راحت به دست می آید.این روش به کنار

در کتاب روش های جبر استاد پرویز شهریاری از خاصیت دوری بودن آن استفاده شده است. عبارت تجزیه شده و به شکل زیر به دست آمده است:

$M(a-b)(b-c)(c-a)$

سپس گفته شده است که M در حالت کلی باید به صورت زیر باشد:

$ \alpha (a^2+b^2+c^2)+ \beta (ab+bc+ac)+ \gamma (a+b+c)+ \lambda abc$

چگونه و چرا M در حالت کلی به این شکل است؟

Answer 1

با درود به دوست گرامی @Elyas1 : همانطور که در عبارت جبری $(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5$ مشاهده میکنیم، هریک از متغیرهای a و b و c در یک پرانتز با علامت منفی و در دیگری مثبت است. و چون توان 5 فرد است، توانهای 5 در گسترش حذف میشوند. پس فقط با توانهای 4 سروکار داریم. از طرف دیگر چون به جمع جبری دوبدو متغیرها هم تقسیم شده، پس ناچار ضریب M باید ازنوع درجه 2 باشد. M نیز چون ترکیبی از متغیرهای a و b و c است، تمام ترکیبات درجه 2 ممکن را که با این متغیرها میتوان ساخت، درنظر گرفته و $ \alpha و \beta و \gamma و \lambda $ را ضرایب چند جمله ای گسترش یافته فرض کرده. و با استدلالهای بعدی ثابت کرده که فقط دو جمله اول M با ضرایب $ \alpha =5$ و $ \beta =5$ میتواند در تجزیه این عبارت جبری صدق کند. علاوه بر استدلال پرویز شهریاری، ترکیبات جمله سوم و چهارم متغیرها در M، بترتیب از نوع درجه 1 و 3 است که نمیتواند در اینجا بکار رود. کتابهای پرویز شهریاری بسیار مفید هستند ولی نکات بسیاری را در نزد مخاطب، دانسته فرض کرده که در کتابهای قدیم تدریس میشد. به امید موفقیت روزافزون جوانان کشور عزیزمان.