با انجام چند عملیات بر روی سریِ $2^0+2^1+2^2+\dots$ به این نتیجه رسیدیم که حاصل این سری $-1$ می شود، کجای اثبات اشتباه است؟

Question

فرض می‌کنیم:

$d=1+2^1+2^2+\dots$

حال می‌نویسیم:

$2d=2+2^2+2^3+\dots\Longrightarrow 2d+1=1+2^1+2^2+\dots$

از دو تساوی نتیجه می‌گیریم که $2d+1=d$ که در این صورت نتیجه می‌دهد که $d=-1$. یعنی جمع چندین عدد مثبت برابر با $-1$ شده! که این ناممکن است. مشکل کجاست؟

Comments

@Elyas1 از کجا می‌دانید که $d$ یک عدد متناهی است که در قوانین میدان اعداد حقیقی با عمل‌های جمع و ضرب صدق کند؟ میدان اعداد حقیقی مجموعهٔ پس‌زمینه‌اش عددهای حقیقی هستند که همگی متناهی اند. پس شما اول نیاز دارید ثابت کنید که $d$ متناهی است یا در واقع عددی حقیقی است که سپس بتوانید ساده‌سازی‌ای که انجام دادید را انجام بدهید و به $d=-1$ برسید. برای این کار هم در واقع همان همگرایی سری در مجموعهٔ اعداد حقیقی را باید ثابت کنید. بنابراین تناقضی از اول نبوده بلکه شما با فرضی اشتباه شروع کردید که آن هم عدد حقیقی بودن $d$ است و سپس به نتیجه‌ای رسیدید که ارزش خاصی ندارد چون از فرض درستی نیامده است.

---

@AmirHosin تشکر از استاد گرامی.

Answer 1

شما در واقع سریِ $\sum_{n=0}^\infty 2^n$ را دارید که یک سری واگرا به مثبت بینهایت است. زمانی استدلال شما درست می‌بود که این سری همگرا به یک عدد حقیقی می‌بود، زیرا قانون‌هایی که برای رفتن از یک گام به گامِ دیگرِ استدلالتان استفاده کردید قوانینِ مربوط به میدانِ مرتبِ اعداد حقیقی با عمل‌های جمع و ضرب معمولیِ اعداد حقیقی و رابطهٔ کوچکتریِ معمولیِ اعداد حقیقی هستند. اما $d$ در ابتدایِ اثبات شما عضوی از $\mathbb{R}$ نیست، لذا اثبات‌تان از همان ابتدا در حال اشتباه رفتن است. توجه کنید که برای نمونه در میدان مرتبِ $\mathbb{R}$ داریم که برای هر عدد حقیقیِ $r\in\mathbb{R}$ رابطهٔ $r+1>r$ همواره برقرار است، اما به نظر شما $+\infty$ که اتفاقا عضو این میدان نیست، در این رابطه صدق می‌کند؟ و همینطور وجود عضو قرینهٔ جمعی نیز برای میدان $\mathbb{R}$ مشخص است ولی اگر مثبت بینهایت را به این مجموعه بیفزائید، آنگاه قرینهٔ جمعیِ آن چیست؟ قرینهٔ جمعی، عددی یا عضوی است که اگر آن را با عنصر مورد نظر جمع کنید، حاصل برابر با عضو خنثای جمعی شود. آیا عددی حقیقی وجود دارد که با $+\infty$ جمع شود و حاصل صفر شود؟ و زمانی که عضو قرینهٔ جمعی برای همهٔ عنصرها ضمانت نشده‌باشد، حرف از تفریق نیز بی‌معنا می‌شود و برای نمونه $2d+1=d\Longrightarrow d=-1$ دیگر قابل استفاده نیست.

اگر در مجموعه، گروه، میدان خاصی کار می‌کنید باید ابتدا اطمینان حاصل کنید که عبارتی که نوشتید هنوز داخل همان ساختار می‌ماند تا بتوانید از قوانین و گزاره‌های موجود در آن ساختار برای مطالعه‌اش استفاده کنید.

Comments

@AmirHosein بسیار عالی، فقط به‌نظرتان پارادوکس لینک زیر نیز مشکلش همین است؟
https://fa.m.wikipedia.org/wiki/%DB%B1_%E2%88%92_%DB%B2_%2B_%DB%B3_%E2%88%92_%DB%B4_%2B_%E2%80%A6

---

@A-math-lover اینکه برای یک سری واگرا به اشتباه فرض کنیم به یک عدد ثابت متناهی همگرا می‌شود و سپس با این فرض اشتباه عددی برایش بیابیم، پارادوکس نمی‌گویند بلکه اشتباه می‌گویند. ویکی‌پدیا منبع آکادمی نیست زیرا مطالبش را هر کسی می‌تواند بنویسد و داوری علمی نمی‌شود. سریِ $\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}n$ واگراست، و حتی وضعش نسبت به سری آمده در این پست نیز بدتر است، چون سری آمده در این پست واگرا به مثبت بینهایت است ولی سری مورد نظر شما حتی به یک سمت واگرا نیست و به صورت متناوب زیردنبالهٔ جمله‌های فرد به مثبت بینهایت و زیردنبالهٔ جمله‌های زوج به منفی‌بینهایت واگراست. پس حتی در دستگاه تعمیم یافتهٔ $\mathbb{R}\cup\lbrace\pm\infty\rbrace$ نیز همگرا نخواهد بود.