به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
58 بازدید
در دبیرستان توسط Hooman (6 امتیاز)

اگر اضلاع یک مثلث قائم الزاویه تشکلی دنباله هندسی بدهند، قدر نسبت را بدست آورید. توضیح خاصی برای این پرسش وجود ندارد و پرسش واضح است.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط Elyas1 (573 امتیاز)
ویرایش شده توسط Elyas1

به نام خالق ریاضیات.

بیایید وتر این مثلث را b در نظر بگیریم و دو ضلع دیگر را a,c($a > c$) از قضیه فیثاغورث می دانیم که:

$b^2=a^2+c^2$

بنابر فرضی که شده داریم: $b > a > c$


  1. ابتدا فرض می کنیم که دنباله به شکل زیر است:

$a,b,c$

قرار است اثبات شود که اینگونه نمی تواند باشد. می دانیم: $b^2=ac$ وهمینطور از قضیه فیثاغورث می دانیم که$b^2=a^2+c^2$ حال داریم:

$a^2+c^2=ac \Longrightarrow a^2-ac+c^2=0$

طول یک ضلع نمیتواند صفر باشد، چون در غیر اینصورت تناقض با فرض مسئله است. پس:

$ (\frac{a}{c})^2- \frac{a}{c}+1=0 \Longrightarrow (\frac{a}{c}-1)^2=- \frac{a}{c}$

طول هیچ یک از a,c منفی نیست. پس تناقض است.

  1. دنباله به شکل های زیر باشد.

    $1.b,a,c$. _ $2.b,c,a$ _ $3.c,a,b$ _ $4.a,c,b$

    فرم اول را در نظر بگیرید$(b,a,c)$. می دانیم که:

    $a=bq$

    $c=bq^2$

    حال می دانیم که:

    $a^2=bc \Longrightarrow b^2-c^2=bc \Longrightarrow b^2-bc-c^2=0 \Longrightarrow (\frac{b}{c})^2- \frac{b}{c}-1=0 \Longrightarrow \frac{1}{q^4}- \frac{1}{q^2}-1=0$

    معادله را تغییر متغیر بدهید و سپس حل کنید. پاسخ مطلوب می شود:

    $q= \sqrt{ \frac{-1+ \sqrt{5} }{2} }$

    حالت های دیگر مانند قبلی است و به عهده پرسشگر گذاشته شده است.

نکته: شما می بایست به فرض انجام شده نیز توجه کنید.یعنی اینکه $b > a > c$ .مثلاً در حالت دوم به دست می آید که:$b > c > a$ که این همواره یک تناقض با فرض است. در حالت سوم:$c > a > b$ تناقض. در حالت چهارم$a > c > b $ باز هم تناقض. پس فقط حالت اول مطلوب است.

توسط good4us (3,553 امتیاز)
+1
Elyas1@در دنباله هندسی ضلع ها که جملات متوالی این دنباله اند چگونه می توانند بزرگ و کوچک بشوند ؟
توسط Elyas1 (573 امتیاز)
@good4us در عددی بین صفر تا یک ضرب می شوند. آیا شما می فرمایید  که باید فرض شود a>c است؟
توسط Elyas1 (573 امتیاز)
@good4us من این سوال را ویرایش می کنم لطفاً یک بار دیگر نگاهی بیاندازید.
توسط good4us (3,553 امتیاز)
+1
Elyas1@ درهرحال اولین جمله یا آخرین جمله در این دنباله هندسی با توجه به اضلاع این نوع مثلث باید وتر فرض شود و در نوشتن رابطه فیثاغورس لحاظ شود
توسط Elyas1 (573 امتیاز)
@good4us تشکر از استاد گرامی من حواسم به این نکته نبود. اکنون پاسخ را اصلاح کردم. لطفاً چک کنید.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...