به نام خالق ریاضیات.
بیایید وتر این مثلث را b در نظر بگیریم و دو ضلع دیگر را a,c($a > c$) از قضیه فیثاغورث می دانیم که:
$b^2=a^2+c^2$
بنابر فرضی که شده داریم:
$b > a > c$
- ابتدا فرض می کنیم که دنباله به شکل زیر است:
$a,b,c$
قرار است اثبات شود که اینگونه نمی تواند باشد. می دانیم:
$b^2=ac$ وهمینطور از قضیه فیثاغورث می دانیم که$b^2=a^2+c^2$ حال داریم:
$a^2+c^2=ac \Longrightarrow a^2-ac+c^2=0$
طول یک ضلع نمیتواند صفر باشد، چون در غیر اینصورت تناقض با فرض مسئله است. پس:
$ (\frac{a}{c})^2- \frac{a}{c}+1=0 \Longrightarrow (\frac{a}{c}-1)^2=- \frac{a}{c}$
طول هیچ یک از a,c منفی نیست. پس تناقض است.
دنباله به شکل های زیر باشد.
$1.b,a,c$. _ $2.b,c,a$ _ $3.c,a,b$ _ $4.a,c,b$
فرم اول را در نظر بگیرید$(b,a,c)$. می دانیم که:
$a=bq$
$c=bq^2$
حال می دانیم که:
$a^2=bc \Longrightarrow b^2-c^2=bc \Longrightarrow b^2-bc-c^2=0 \Longrightarrow (\frac{b}{c})^2- \frac{b}{c}-1=0 \Longrightarrow \frac{1}{q^4}- \frac{1}{q^2}-1=0$
معادله را تغییر متغیر بدهید و سپس حل کنید. پاسخ مطلوب می شود:
$q= \sqrt{ \frac{-1+ \sqrt{5} }{2} }$
حالت های دیگر مانند قبلی است و به عهده پرسشگر گذاشته شده است.
نکته: شما می بایست به فرض انجام شده نیز توجه کنید.یعنی اینکه $b > a > c$ .مثلاً در حالت دوم به دست می آید که:$b > c > a$ که این همواره یک تناقض با فرض است. در حالت سوم:$c > a > b$ تناقض. در حالت چهارم$a > c > b $ باز هم تناقض. پس فقط حالت اول مطلوب است.
