فرض کنید دنباله ی $\{ x_{n} \} $ از اعداد حقیقی را داشته باشیم تعریف میکنیم:
$S=\{n \mid x_{m} > x_{n} , \forall m > n \} $
مثلا اگر $ n_{1} $ و$ n_{2} $ در $ S $ باشند بدون کاستن از کلیت فرض کنیم $ n_{1} < n_{2} $ آنگاه طبق تعریف چون $ n_{1} \in S $ و چون $ n_{2} > n_{1} $ پس $x_{n_{2}} > x_{n_{1}} $
برای اثبات دو حالت داریم
الف) مجموعه ی $S $ نامتناهی باشد و فرض $n_{1} < n_{2} < n_{3} < ... $ در $ S $ باشند لذا $x_{n_{1}} < x_{n_{2}} < x_{n_{3}} < ... $ زیر دنباله ی $ \{ x_{n_{k} } \} $ زیر دنباله ای صعودی است.
ب) مجموعه ی $ S $ متناهی باشد پس عددی مانند $ n_{1} $ وجود دارد که از تمام اعداد عضو $ S $ بزرگتر است(کافیست قرار دهیم $n_{1} =1+max \{ n \mid n \in S\} $ چون مجموعه ی $ S $ متناهی است ماکزیمم وجود دارد)
چون $n_{1} \notin S $ پس طبق تعریف عنصر $ n_{2} > n_{1} $ وجود دارد که $ x_{n_{2}} < x_{n_{1}} $ حال چون $ n_{2} > n_{1} $ یعنی $ n_{2} \notin S $ پس $ n_{3} > n_{2} $ وجود دارد که $x_{n_{3}} < x_{n_{2}} $با ادامه این روند زیر دنباله ی $ \{ x_{n_{k} } \} $ را داریم که نزولی است.
