آیا رابطهٔ $(-a)(-b)=ab$ اثبات خاصی دارد؟

Question

سلام خدمت تمام دوستان و اساتید سایت محفل ریاضی ایرانیان

همانطور که حتماً می‌دانید حاصل ضرب دو عدد حقیقیِ منفی برابر با عددی مثبت است، این موضوع را می‌توان با رابطهٔ زیر نشان داد:

$$(-a)(-b)=ab$$

اما آیا این رابطه اصلاً اثباتی دارد؟

Comments

@Am.s جملهٔ «حاصلضرب دو عدد منفی عددی مثبت می‌شود به خاطر برقرار بودن $(-a)(-b)=ab$» نادرست است، بلکه برعکس این رابطه برقرار است به خاطر خود عمل ضرب معمولی اعداد حقیقی که شامل مثبت‌شدنِ ضرب دو عدد منفی است. پس جای فرض و حکم را اشتباه نوشته‌اید. رابطه‌ای که نوشته‌اید اثبات دارد ولی با دانسته گرفتنِ اینکه ضرب هر دو عدد حقیقی چه می‌شود و بدون دانسته گرفتنِ حاصلضرب بخشی از اعداد حقیقی مثلا ضرب اعداد منفی، بی‌معنا می‌شود. بنابراین اگر متن پرسش را ویرایش کنید و جملهٔ نادرست را حذف کنید پاسخ بلی می‌شود. و اگر منظورتان از اول این بوده‌است که آیا این رابطه اثباتی برای مثبت‌شدن ضرب دو عدد منفی است و سپس به دنبال اثبات این رابطه هستید، پاسخ این است که اشتباه تصور کرده‌اید.

Answer 1

با درود: تا جاییکه بنده اطلاع دارم در منابع ایرانی و خارجی از عبارت $(-a)(-b)=ab$ بعنوان خاصیت منفی اعداد حقیقی (properties of negatives) یاد شده است و آن را بعنوان قضیه اثبات پذیر نام نبرده اند.

مرجع: precalculus mathematics for calculus تألیف James Stewart، سال 2015 ، نشر cengage learning ، صفحه 4.

با اینحال دنیای ریاضی دنیای عجایب است. اگر در مرجع دیگری خوانده اید که قابل اثبات است، ذکر آن از طرف شما خالی از لطف نیست. با آرزوی موفقیت.

Comments

@ناصر آهنگرپور کتاب زیر به عنوان قضیه یاد کرده است. apostol calculus volume 1 صفحه $18$ قضیه $1.12$ .
در لینک زیر نیز یک نفر استدلالی برای اثبات این نکته می آورد ممنون می شوم بگویید مشکل کجاست https://math.stackexchange.com/questions/1904420/how-to-show-that-a-b-ab-holds-in-a-field

---

@Elyas : با درود به دوست عزیز. منابع مذکور در دیدگاهتان عالی بودند. این تناقض در سیستمهای قدیم و جدید آموزشی نشان میدهد که دنیا هنوز به استاندارد آموزشی لازم نرسیده است زیرا یکی آنرا خاصیت (property) و دیگری قضیه (theorem) نامگذاری میکند. با اینکه پاسخ بنده مقید به عدم قطعیت بود، ولی از هردو منبع مذکور بهره مند شدم. امید است همکاریهای چندجانبه بتواند راهگشای ارتقاء معلومات جمعی شود که قطعاً نتایج درخشانی خواهد داشت. با سپاس از توجه سودمندتان.

---

@Elyas1 پیوندی که از سایت math.stackexchange فرستادید اثبات تعریف ضرب برای عددهای حقیقی منفی با ضرب معمولی نیست بلکه اثبات یک رابطه برای ساختار میدان است. برای میدان شدن ابتدا باید دو عمل جمع و ضرب تعریف شوند و عمل ضرب یک تابع است. تعریف‌شده‌بودن یک تابع یعنی اینکه روی هر ورودی‌اش بدانید که خروجی‌اش چه است. در نتیجه برای اینکه از آن رابطه برای اعداد حقیقی بهره‌مند شوید ابتدا باید عمل ضرب اعداد حقیقی تعریف‌شده و در ویژگی‌های میدان صدق کند. پس نمی‌توانید فقط ضرب اعداد حقیقی نامنفی را تعریف‌شده بدانید و سپس بگوئید چون اعداد حقیقی با عمل جمع و ضرب میدان است و برای میدان‌ها آن رابطه را داریم، پس تعریف ضرب اعداد حقیقی منفی این می‌شود. اشکال این کار این است که با فقط دانستن عمل ضرب روی قسمتی از مجموعه میدان بودن قابل چک کردن نیست پس اثبات gap (پرش) دارد.

---

@AmirHosein ممنون از توضیحات ارزشمندتان.
فقط این‌که به‌نظر شما آیا این قضیه اثبات‌پذیر است؟

---

@Am.s کدام قضیه؟ تعریف ضرب اعداد صحیح یک قضیه نیست بلکه تعریف است. برای یک تعریف اثبات نمی‌آورند بلکه انگیزهٔ اینکه چرا اینگونه تعریف شده‌است را می‌توان پرسید.