فکر کنم منظور شما هم ارزی هایی است که در دوران دبیرستان برای حد ها استفاده می کنید.
قضیه تیلور: اگر $f:[a,b]\to\mathbb R$ و $n$ مشتق اولش روی $[a,b]$ پیوسته باشند و $f^{n+1}$ روی $(a,b)$ موجود باشد آنگاه به ازای $c\in(a,b)$ ی داریم:
$$ f(b)=f(a)+f'(a)(b-a)+\frac{f'' (a)}{2!}(b-a)^2+...+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(b-a)^n+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}\\
=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} $$
با فرض اینکه $f^{(0)}=f$.
در اینصورت می توان با فرض اینکه $f$در بازه $I$ دارای مشتقات تمام مراتب باشد و $a\in I$در اینصورت به ازای هرعدد طبیعی $n$ و هر$x\in I$ داریم:
$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f'' (a)}{2!}(x-a)^2+...+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\\
=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} $$
جمله ی آخر در تساوی بالا را باقیمانده ی بسط تیلور از مرتبه ی $n$ گویند. اما چنانچه مشتقات تمام مراتب وجود داشته باشد و وقتی $n\to\infty$ باقیمانده به سمت صفر میل کند در اینصورت می گویند بسط $f(x)$ روی آن بازه به $f(x)$ میل می کند و می نویسیم: $f(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$.
بسط تیلور حول نقطه ی $a=0$ به بسط مک لورن معروف است.
به عنوان مثال بسط مک لورن $f(x)= \sin x$ ( یعنی بسط تیلور آن حول نقطه ی $a=0$ ) برابر است با:
$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$.
پس هر کدام از موارد زیر می توانند تقریبی از $\sin x$ حول صفر باشند:
$$\sin x\sim x\\
\sin x\sim x-\frac{x^3}{3!}\\
\sin x\sim x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}$$
برای اطلاعات بیشتر به کتاب های ریاضی عمومی دانشگاهی یا کتب آنالیز ریاضی برای دیدن اثبات رجوع کنید. همچنین دیدن Taylor series هم خالی از لطف نیست.
