به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+4 امتیاز
2,596 بازدید
در دبیرستان توسط saderi7 (7,822 امتیاز)

تعريف و مفهوم دو تابع هم ارز؟؟ و روش پيدا كردن تابع هم ارز ؟؟

توسط fardina (17,196 امتیاز)
+1
منظورتون دو تابع مساویه؟
توسط saderi7 (7,822 امتیاز)
@fardina
نه دوتابع كه در همسايگي يك عدد بر هم منطبق هستند .

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط fardina (17,196 امتیاز)
ویرایش شده توسط رها

فکر کنم منظور شما هم ارزی هایی است که در دوران دبیرستان برای حد ها استفاده می کنید.

قضیه تیلور: اگر $f:[a,b]\to\mathbb R$ و $n$ مشتق اولش روی $[a,b]$ پیوسته باشند و $f^{n+1}$ روی $(a,b)$ موجود باشد آنگاه به ازای $c\in(a,b)$ ی داریم: $$ f(b)=f(a)+f'(a)(b-a)+\frac{f'' (a)}{2!}(b-a)^2+...+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(b-a)^n+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}\\ =\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} $$ با فرض اینکه $f^{(0)}=f$.

در اینصورت می توان با فرض اینکه $f$در بازه $I$ دارای مشتقات تمام مراتب باشد و $a\in I$در اینصورت به ازای هرعدد طبیعی $n$ و هر$x\in I$ داریم: $$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f'' (a)}{2!}(x-a)^2+...+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\\ =\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} $$

جمله ی آخر در تساوی بالا را باقیمانده ی بسط تیلور از مرتبه ی $n$ گویند. اما چنانچه مشتقات تمام مراتب وجود داشته باشد و وقتی $n\to\infty$ باقیمانده به سمت صفر میل کند در اینصورت می گویند بسط $f(x)$ روی آن بازه به $f(x)$ میل می کند و می نویسیم: $f(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$.

بسط تیلور حول نقطه ی $a=0$ به بسط مک لورن معروف است.

به عنوان مثال بسط مک لورن $f(x)= \sin x$ ( یعنی بسط تیلور آن حول نقطه ی $a=0$ ) برابر است با: $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$.

پس هر کدام از موارد زیر می توانند تقریبی از $\sin x$ حول صفر باشند: $$\sin x\sim x\\ \sin x\sim x-\frac{x^3}{3!}\\ \sin x\sim x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}$$

برای اطلاعات بیشتر به کتاب های ریاضی عمومی دانشگاهی یا کتب آنالیز ریاضی برای دیدن اثبات رجوع کنید. همچنین دیدن Taylor series هم خالی از لطف نیست.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...