دو زیرگروه از $\bar{\mathbb{Z}}_2\times\bar{\mathbb{Z}}_4$ بیابید که با یکدیگر یکریخت باشند ولی گروههای خارج قسمتی ساخته شده با آنها یکریخت نباشند.

Question

زیرگروه‌هایی چون $H$ و $K$ از گروه $G=\bar{\mathbb{Z}}_2\times\bar{\mathbb{Z}}_4$ بیابید به گونه‌ای که $H$ و $K$ یکریخت باشند در حالی که $\frac{G}{H}$ و $\frac{G}{K}$ یکریخت نباشند.

Comments

@Mhsa «مربوط به فلان درس» عنوان مناسب برای پرسش نیست! پست زیر را بخوانید.
https://math.irancircle.com/11973
فرمول‌های ریاضی را نیز بین دو علامت دلار قرار دهید تا درست نمایش داده‌شوند. پست‌های زیر برایتان مفید هستند.
https://math.irancircle.com/56
https://math.irancircle.com/52
بعلاوه به اینکه چرا نتوانستید خودتان پرسش را حل کنید یا تلاش‌هایی که کرده‌اید اشاره کنید و گر نه ممکن است پاسخی که می‌گیرید تنها متنی برای کپی-پیست کردن بشود و چیزی به دانش شما نیافزاید یا ابهام‌های شما را رفع نکند. برای نمونه اگر مفهوم یکریختی، یا زیرگروه، یا گروه‌های حاصلضربی را مشکل دارید ولی اشاره نکند و صرفا صورت پرسش را بنویسید، پاسخ‌دهنده‌ نیز ممکن است توضیح مناسبی نیافزاید!

Answer 1

خیلی ساده‌است قرار دهید $H=\bar{\mathbb{Z}}_2\times\lbrace 0\rbrace$ و $K=\lbrace 0\rbrace\times 2\bar{\mathbb{Z}}_4$ که چون چیزی در متن پرسش‌تان اشاره نکردید من هم فرض می‌کنم تمام تعریف‌ها را می‌دانید و تنها کاری که نکرده‌اید این است که بشینید برای چند دقیقه زیرگروه‌های $G$ را نگاه کنید. $G$ یک گروه ۸ عضوی است! و در کل هم هر جور با آن بازی کنید پس از چند دقیقه متوجه می‌شوید که ۶ زیرگروه بیشتر ندارد، کاری دارد ۶ زیرگروه را برای یکریختی چک کردن؟ و سپس از بین آنهایی که یکریخت هستند، که یک حالت هم بیشتر نیست، چک کنید گروه خارج‌قسمتی متناظرشان یکریخت نیستند.

به هر حال برای اینکه برای خواننده‌های پسین راهنمایی بیشتر شده باشد، توجه کنید که منظور از $2\bar{\mathbb{Z}}_4$ یعنی $\lbrace 0,2\rbrace$. به سادگی می‌توانید ببینید که $H\cong K\cong \bar{\mathbb{Z}}_2$ در حالیکه

$$\frac{G}{H}\cong\lbrace 0\rbrace\times\bar{\mathbb{Z}}_4\cong\bar{\mathbb{Z}}_4$$

ولی

$$\frac{G}{K}\cong\bar{\mathbb{Z}}_2\times2\bar{\mathbb{Z}}_4\cong\bar{\mathbb{Z}}_2\times\bar{\mathbb{Z}}_2\not\cong\bar{\mathbb{Z}}_4$$

دلیل اینکه $\bar{\mathbb{Z}}_4$ و $\bar{\mathbb{Z}}_2\times\bar{\mathbb{Z}}_2$ یکریخت نیستند نیز روشن است، گروه یکُمی دوری است و دارای عضوی با مرتبهٔ ۴ در حالیکه گروه دومی دوری نیست و بزرگترین مرتبهٔ ممکن برای عنصرهایش ۲ است.