خیلی سادهاست قرار دهید $H=\bar{\mathbb{Z}}_2\times\lbrace 0\rbrace$ و $K=\lbrace 0\rbrace\times 2\bar{\mathbb{Z}}_4$ که چون چیزی در متن پرسشتان اشاره نکردید من هم فرض میکنم تمام تعریفها را میدانید و تنها کاری که نکردهاید این است که بشینید برای چند دقیقه زیرگروههای $G$ را نگاه کنید. $G$ یک گروه ۸ عضوی است! و در کل هم هر جور با آن بازی کنید پس از چند دقیقه متوجه میشوید که ۶ زیرگروه بیشتر ندارد، کاری دارد ۶ زیرگروه را برای یکریختی چک کردن؟ و سپس از بین آنهایی که یکریخت هستند، که یک حالت هم بیشتر نیست، چک کنید گروه خارجقسمتی متناظرشان یکریخت نیستند.
به هر حال برای اینکه برای خوانندههای پسین راهنمایی بیشتر شده باشد، توجه کنید که منظور از $2\bar{\mathbb{Z}}_4$ یعنی $\lbrace 0,2\rbrace$. به سادگی میتوانید ببینید که $H\cong K\cong \bar{\mathbb{Z}}_2$ در حالیکه
$$\frac{G}{H}\cong\lbrace 0\rbrace\times\bar{\mathbb{Z}}_4\cong\bar{\mathbb{Z}}_4$$
ولی
$$\frac{G}{K}\cong\bar{\mathbb{Z}}_2\times2\bar{\mathbb{Z}}_4\cong\bar{\mathbb{Z}}_2\times\bar{\mathbb{Z}}_2\not\cong\bar{\mathbb{Z}}_4$$
دلیل اینکه $\bar{\mathbb{Z}}_4$ و $\bar{\mathbb{Z}}_2\times\bar{\mathbb{Z}}_2$ یکریخت نیستند نیز روشن است، گروه یکُمی دوری است و دارای عضوی با مرتبهٔ ۴ در حالیکه گروه دومی دوری نیست و بزرگترین مرتبهٔ ممکن برای عنصرهایش ۲ است.
