احتمال تقلبی بودن تابلوها

Question

یک فروشنده ی آثار هنری ، محموله ای شامل 5 تابلوی نقاشی از خارج کشور دریافت می کند و برمبنای تجربه ی گذشته ، این احساس را که احتمال اینکه 5،4،3،2،1،0 تابلو تقلبی باشند ، به ترتیب برابر 0،76 و 0،09 و 0،02 و 0،01 و 0،02 و 0،1 است . چون هزینه ی تایید اصالت هر تابلو خیلی زیاد است ، فروشنده تصمیم می گیرد فقط یکی از 5 تابلو را به تصادف انتخاب کند و برای تایید اصالت بفرستد.اگر دریابد که این تابلو تقلبی است ، احتمالی که او برای تقلبی بودن همه ی 4 تابلوی دیگر نسبت خواهد داد ، چقدر است ؟

Answer 1

فرض کنید یک تابلو را به تصادف انتخاب می‌کنید. پیشامد اینکه آن تابلو تقلبی باشد را $A$ بنامید. همچنین $B_i$ را پیشامد این در نظر بگیرید که دقیقا $i$ تابلو‌ تقلبی باشند. جواب سوال در حقیقت پیدا کردن $P(B_5 \mid A)$ است. حال بنابر قانون احتمال کل داریم:

$$P(A) = \sum_{i = 0}^{5} P(A \mid B_i) \times P(B_i)$$ $$= \frac{0}{5} \times 0.76 + \frac{1}{5} \times 0.09 + \frac{2}{5} \times 0.02+ \frac{3}{5} \times 0.01+ \frac{4}{5} \times 0.02+ \frac{5}{5} \times 0.1$$ $$=0.148$$ حال داریم: $$P(B_5 \mid A) = \frac{P(B_5 \cap A)}{P(A)} = \frac{0.1}{0.148} \approx 0.676$$