حل لاپلاس (sin2x/x) (لاپلاس توابع با مخرح x)

Question

سلام. من توی لاپلاس توابعی که مخرج x دارند به مشکل خوردم. یکی از مثال هاش رو ضمیمه کردم. با تبدیل sin به exp نتونستم حلش کنم. از طریق تعریف هم به انتگرالی میرسم که هرچند بار از روش جز به جز استفاده بشه حل نمیشه. ممنون از راهنماییتون

Answer 1

بنام خدا.برای پیدا کردن لاپلاس عبارت فوق از قضیه زیر استفاده میکنیم .

اگر $$ \lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x} $$ و $$ L{f(x)}=F(S) $$ وجود داشته باشد آنگاه

$$L( \frac{f(x)}{x})= \int_s^∞ F(u)du $$

دراین مسئله f(x)=sin2x و $$L(sinn2x)= \frac{2}{ s^{2} +4} $$ و $$ \lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x} =2 $$ وجود دارندبنابراین داریم

$$L( \frac{sin2x}{x} )= \int_s^∞ F(u)du=\int_s^∞\frac{2}{ u^{2} +4}du=arctan \frac{u}{2}|= \frac{ \pi }{2}-arctan \frac{s}{2} $$