معادله دیفر انسیل با استفاده از لاپلاس

Question

معادلات دیفرانسیل زیر را با استفاده از تبدیل لاپلاس حل کنید

1 ) $y''+(2t+3)y'+(t+3)y=3e^-t, y(0)=0 , y'(0)=1$

2) $y''+3y'-4y=5te^-6t, y(0)=1 , y'(0)=-1$

Answer 1

ایده جواب 2:

توجه داریم که

$L[y']=pL[y]-y(0)$ و $L[y'']=p^2L[y]-py(0)-y'(0)$ و $L[(-1)^nx^ny]=L^{n}[y]$.

بنابراین اگر از طرفین لاپلاس را اعمال کنیم داریم:

$p^2L[y]-py(0)-y'(0)+3pL[y]-3y(0)-4L[y]=-5( \frac{1}{p+6} )'$

$ \Rightarrow (p^2+3p-4)L[y]gp-2= \frac{5}{(p+6)^2} \Rightarrow \Rightarrow (p^2+3p-4)L[y]=\frac{5}{(p+6)^2}+p+2= \frac{2(p+6)^2+5}{(p+6)^2} $

$ \Rightarrow L[y] = \frac{p+2}{p^2+3p-4}+ \frac{5}{(p+6)^2(p^2+3p-4)} $

حالا اگر کسرها را باز کنیم و به معکوس لاپلاس را بکار ببریم $y$ به دست می آید.

$ \Box $