تعداد مضارب یک عدد طبیعی در یک بازه از اعداد طبیعی

Question

با سلام.تعداد مضربهای یک عدد در یک بازه چگونه بدست می آید؟مثلا مضربهای عددaدر بازهmتاn بطوریکه اعدادaوmوn طبیعی باشند و mبزرگتر ازnباشد.

Answer 1

تعداد مضارب a از 1 تا m برابر است با $[ \frac{m}{a}] $ بنابراین جواب سوال شمابه فرمول زیر تبدیل می شود $$[ \frac{m}{a}] - [\frac{n-1}{a} ] $$ دقت کنید این فرمول تعداد مضارب a از$n$ تا m می باشد.n-1در فرمول به این خاطر است که تعداد مضارب aرا تا قبل از n باید بدست آورد و از کل کم کرد در مواقعی که n مضرب a است نیاز به n-1می باشد در غیر این صورت همان n جواب نیز می دهد. تعداد اعداد سه رقمی مضارب 3 برابراست با $$[ \frac{999}{3}] - [ \frac{100}{3} ]=333-33=300$$ از آنجاکه 100 مضرب 3 نیست در فرمول می توانید از 100 یا 99 استفاده کنیم.

Answer 2

یکی از روش ها استفاده از رابطه دنباله اعداد حسابی است.$$a_n=a_1+(n-1)d$$است که$a_1$جمله اول و$a_n$جمله nم وdقدرنسبت جملات است.روش کار بدین صورت است که با فرض داشتن اولین و آخرین مضرب آن عدد در آن بازه ،تعداد عدد محاسبه می شود.فرض کنید بخواهیم تعداد مضارب سه رقمی عدد 3را بیابیم.داریم $a_1=102$و$a_n=999$لذابا رابطه بالا داریم$$999=102+(n-1)3$$چون مضارب ۳سه واحد با هم اختلاف دارندلذا$$(999-102)/3+۱$$لذا$$n=300$$ عدد مضرب سه رقمی عدد۳ داریم.