به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
75 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط Am.s (380 امتیاز)
دوباره دسته بندی کردن توسط AmirHosein

با سلام و عرض ادب خدمت تمام کاربران و اساتید محترم سایت محفل ریاضی ایرانیان

دنبالهٔ زیر را در نظر بگیرید:

$$56,67,80,88,104,...$$

الگوی موجود در این دنباله بدین صورت‌است: جملهٔ $n$اُم در این دنباله برابر است با جمع جملهٔ $(n-1)$اُم با مجموعِ ارقامش؛ برای مثال جملهٔ دوم ($67$) در این دنباله برابر است با جمع جملهٔ اول ($56$) با مجموع ارقامش ($5+6$).

اکنون پرسش من این‌است که آیا می‌توان برای این دنباله یک جملهٔ عمومی یا یک رابطهٔ بازگشتی نوشت؟

تلاش انجام‌شده: سعی کردم با توجه به الگوی این دنباله برایش یک رابطهٔ بازگشتی بنویسم، ولی متأسفانه به نتیجه‌ای نرسیدم.

1 پاسخ

+6 امتیاز
توسط AmirHosein (14,040 امتیاز)
انتخاب شده توسط Am.s
 
بهترین پاسخ

ابتدا بیاییم ببینیم آیا می‌توانیم رقم‌های یک عدد را با ضابطه‌ای خودکار از آن استخراج کنیم؟ احتمالا پیش‌تر در جاهای مختلف دیده باشید که باقیماندهٔ تقسیم یک عدد مانند $a$ بر یک عدد دیگر مانند $b$ برابر است با با $a-b[\frac{a}{b}]$. که یک کاربردش این بود که رقم یکان یک عدد مانند $n$ برابر است با $n-10[\frac{n}{10}]$. از همین ایده استفاده کنید و هر رقم دلخواهی را بیرون بکشید. برای نمونه در عدد ۱۲۳ رقم دهگان برابر است با $[\frac{123}{10}]-10[\frac{123}{100}]$ چرا توانستم سریع این را بگویم؟ چون $n-10[\frac{n}{10}]$ یک رقم سمت راست می‌شود و $n-100[\frac{n}{100}]$ دو رقم سمت راست می‌شود. تفاضل این دو می‌شود دو رقم سمت راست که رقم آخر از سمت راست صفر شده‌است و از نظر ساده‌سازی عبارت‌ها داریم:

$$(n-100[\frac{n}{100}])-(n-10[\frac{n}{10}])=10[\frac{n}{10}]-100[\frac{n}{100}]$$

برای رها شدن از صفر اضافی و تنها داشتن رقم دوم از سمت راست، کافی‌است یک تقسیم بر ۱۰ نیز بیفزائیم، پس داریم

$$[\frac{n}{10}]-10[\frac{n}{100}]$$

که در بالا به جای $n$ گذاشته بودیم ۱۲۳. به هر حال برای هر رقمی به روش مشابه باید سریع به ذهن‌تان برسد که ریتم یکسانی هم دارد. پس در کل جمع رقم‌های عدد $n$ به شکل زیر نیز نوشته می‌شود.

$$[\frac{n}{10^{[\log_{10}^n]}}]+\Big(\sum_{i=1}^{[\log_{10}^{n}]-1}\big([\frac{n}{10^i}]-10[\frac{n}{10^{i+1}}]\big)\Big)+(n-10[\frac{n}{10}])$$

که به عبارت زیر ساده می‌شود.

$$n-9\sum_{i=1}^{[\log_{10}^n]}[\frac{n}{10^i}]$$

برای نمونه برای $n=88$ داریم $88-9[\frac{88}{10}]=88-72=16$ که با $8+8$ برابر است. اینک چیزی که شما می‌خواهید خیلی ساده برابر می‌شود با:

$$\begin{cases} x_n=2x_{n-1}-9\sum_{i=1}^{[\log_{10}^{x_{n-1}}]}[\frac{x_{n-1}}{10^i}]\\ x_1=56 \end{cases}$$

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...