چگونه برای دنباله ای که جملهٔ $n$اُم آن برابر با جمع جملهٔ $n-1$اُم با جمع رقم هایش است یک ضابطه بنویسیم؟

Question

با سلام و عرض ادب خدمت تمام کاربران و اساتید محترم سایت محفل ریاضی ایرانیان

دنبالهٔ زیر را در نظر بگیرید:

$$56,67,80,88,104,...$$

الگوی موجود در این دنباله بدین صورت‌است: جملهٔ $n$اُم در این دنباله برابر است با جمع جملهٔ $(n-1)$اُم با مجموعِ ارقامش؛ برای مثال جملهٔ دوم ($67$) در این دنباله برابر است با جمع جملهٔ اول ($56$) با مجموع ارقامش ($5+6$).

اکنون پرسش من این‌است که آیا می‌توان برای این دنباله یک جملهٔ عمومی یا یک رابطهٔ بازگشتی نوشت؟

تلاش انجام‌شده: سعی کردم با توجه به الگوی این دنباله برایش یک رابطهٔ بازگشتی بنویسم، ولی متأسفانه به نتیجه‌ای نرسیدم.

Answer 1

ابتدا بیاییم ببینیم آیا می‌توانیم رقم‌های یک عدد را با ضابطه‌ای خودکار از آن استخراج کنیم؟ احتمالا پیش‌تر در جاهای مختلف دیده باشید که باقیماندهٔ تقسیم یک عدد مانند $a$ بر یک عدد دیگر مانند $b$ برابر است با با $a-b[\frac{a}{b}]$. که یک کاربردش این بود که رقم یکان یک عدد مانند $n$ برابر است با $n-10[\frac{n}{10}]$. از همین ایده استفاده کنید و هر رقم دلخواهی را بیرون بکشید. برای نمونه در عدد ۱۲۳ رقم دهگان برابر است با $[\frac{123}{10}]-10[\frac{123}{100}]$ چرا توانستم سریع این را بگویم؟ چون $n-10[\frac{n}{10}]$ یک رقم سمت راست می‌شود و $n-100[\frac{n}{100}]$ دو رقم سمت راست می‌شود. تفاضل این دو می‌شود دو رقم سمت راست که رقم آخر از سمت راست صفر شده‌است و از نظر ساده‌سازی عبارت‌ها داریم:

$$(n-100[\frac{n}{100}])-(n-10[\frac{n}{10}])=10[\frac{n}{10}]-100[\frac{n}{100}]$$

برای رها شدن از صفر اضافی و تنها داشتن رقم دوم از سمت راست، کافی‌است یک تقسیم بر ۱۰ نیز بیفزائیم، پس داریم

$$[\frac{n}{10}]-10[\frac{n}{100}]$$

که در بالا به جای $n$ گذاشته بودیم ۱۲۳. به هر حال برای هر رقمی به روش مشابه باید سریع به ذهن‌تان برسد که ریتم یکسانی هم دارد. پس در کل جمع رقم‌های عدد $n$ به شکل زیر نیز نوشته می‌شود.

$$[\frac{n}{10^{[\log_{10}^n]}}]+\Big(\sum_{i=1}^{[\log_{10}^{n}]-1}\big([\frac{n}{10^i}]-10[\frac{n}{10^{i+1}}]\big)\Big)+(n-10[\frac{n}{10}])$$

که به عبارت زیر ساده می‌شود.

$$n-9\sum_{i=1}^{[\log_{10}^n]}[\frac{n}{10^i}]$$

برای نمونه برای $n=88$ داریم $88-9[\frac{88}{10}]=88-72=16$ که با $8+8$ برابر است. اینک چیزی که شما می‌خواهید خیلی ساده برابر می‌شود با:

$$\begin{cases} x_n=2x_{n-1}-9\sum_{i=1}^{[\log_{10}^{x_{n-1}}]}[\frac{x_{n-1}}{10^i}]\\ x_1=56 \end{cases}$$