انتگرال سه گانهٔ $\int_A\frac{15}{16}z^2dxdydz$ که $A$ با دو نامساوی $2z^2<x^2+y^2+z^2<4$ داده شده است را در مختصات کروی بازنویسی کنید.

Question

انتگرال سه‌گانه‌ای در مختصاد دکارتی به شکل زیر داریم

$$\int_A\frac{15}{16}z^2dxdydz$$

که ناحیهٔ $A$ بوسیلهٔ دو نامساویِ $2z^2<x^2+y^2+z^2<4$ داده‌شده‌است. چگونه باید این انتگرال را در مختصات کروی بنویسم؟ با $r$ و $\phi$ و $\theta$.

Comments

لطفا سوال را درست و خوانا بنویسید. از سوال چیزی دست گیرمون نشد تا قادر به حل آن باشیم

---

@Hadi931 به دو صفحهٔ زیر نگاه کنید تا ببینید چگونه باید فرمول‌های ریاضی را درست نمایش داد. بعلاوه تلاش و فکر خودتان برای حل پرسش‌تان را نیز در متن باید اشاره کنید. می‌توانید بر روی علامت مدادشکل بر زیر پست‌تان کلیک کنید و تلاشی که تا الآن کرده‌اید را بیفزائید.
https://math.irancircle.com/52
https://math.irancircle.com/56

Answer 1

اگر توجه شود $A$ مکانی از فضاست محدود به کره $x^2+y^2+z^2=4$ و مخروط $x^2+y^2=z^2$.

$x^2+y^2+z^2=4,x^2+y^2=z^2 \Rightarrow z^2+z^2=4 \Rightarrow z= \sqrt{2} \vee z=- \sqrt{2}$

$ \int \int \int _Az^2dxdydz$

$= \int_0^{2 \pi} \int_0^ \frac{\pi }{4} \int_{-2}^2 (\rho Cos \phi )^2 \rho ^2Sin \phi d \rho d \phi d \theta$

و این انتگرالی ساده است.