می خواهیم طول میانه وارد بر وتر را در یک مثلث قائم الزاویه بیابیم.

Question

در یک مثلث قائم الزاویه یکی از زاویه های حاده ۱۵ درجه و مساحت مثلث ۸ است طول میانه وارد بر وتر کدام است؟

Comments

@Mahdivnt تلاش خودتان را اشاره کنید. زمانیکه این پرسش را خواندید چه فکرهایی به ذهن‌تان آمد و اصلا شروع به نوشتن و امتحان چیزی کردید؟

Answer 1

به نام خدا.

در مثلث قائم الزاویه که اندازه ی یکی از زاویه آن 15 درجه است، اندازه ارتفاع برابر نصف میانه است.( یکی از تمرین های خود کتاب) پس اگر اندازه میانه $x$ باشد، در این صورت:

$ \frac{ \frac{x}{2} ×2x}{2}=8 \Longrightarrow x=4$

Answer 2

درهر مثلث قائم الزاویه اندازه میانه وارد بر وتر برابر است با نصف وتر. با استفاده از رابطه کسینوس ها در هر مثلث خواهیم داشت:

$a^2=2m^2-2m^2 cos(150^ \circ ) \Rightarrow a^2=m^2(2+\sqrt3)$ $b^2=2m^2-2m^2 cos(30^ \circ ) \Rightarrow b^2=m^2(2-\sqrt3)$

از طرفی باتوجه به مساحت داده شده

$$a^2b^2=8^2 \Rightarrow m^4=8^2 \Rightarrow m=4$$

Answer 3

می دانیم میانه وارد بر وتر نصف وتر است. اگر $a$اندازه وتر باشد که روبروی زاویه قایمه است و $h$ اندازه میانه باشد داریم$$h= \frac{a}{2}$$از طرفی مساحت مثلث با کمک سه زاویه آن برابر است با$$ \frac{a^2sinBsinC}{2sinA} $$از طرفی می دانیم زاویه$B=15$ درجه و زاویه $C=75$درجه است . لذا داریم$sinB$$$\frac{ \sqrt{6} }{4} - \frac{ \sqrt{2} }{4} $$و $sinC$برابر$$ \frac{ \sqrt{6} }{4} + \frac{ \sqrt{2} }{4} $$ است لذابا جایگزاری در رابطه بالا و ضرب عبارات داریم$$a=8$$و لذا$$h=4$$