ثابت کنید نمایش ممیز شناور عدد حقیقی

Question

فرض کنید $fl(x)$ نمایش ممیز شناور عدد حقیقی $x$ باشد ( $t$ رقم و $ \beta $ پایه) انگاه :

$ \frac{ \mid fl(x)-x \mid }{ \mid x \mid } \leq \mu =\begin{cases} \frac{1}{2} \beta ^{1-t} & گرد کردن \\ \beta ^{1-t} &قطع کردن \end{cases} $

که قسمت اول را ( گردکردن )دوستان خودم حل کردم ولی در مورد قسمت ب (قطع کردن )اگه راه حلی یا کتابی در این مورد داشتید ممنون میشم بفرمائید.

Answer 1

اگر$ x $را با ممیز شناور نمایش دهیم داریم $x=(. d_{1} d_{2} ... d_{t} d_{t+1}..) \beta ^{e} $ و $ fl(x)=(. d_{1} d_{2} ... d_{t} ) \beta ^{e} $ پس داریم: $$\frac{ \mid fl(x)-x \mid }{ \mid x \mid }= \frac{ \mid (. d_{1} d_{2} ... d_{t} ) \beta ^{e} - (. d_{1} d_{2} ... d_{t} d_{t+1}..) \beta ^{e} \mid }{ \mid (. d_{1} d_{2} ... d_{t} d_{t+1}..) \beta ^{e} \mid }= \frac{\mid (.d_{t+1} d_{t+2}..) \beta ^{e-t} \mid }{\mid (. d_{1} d_{2} ... d_{t} d_{t+1}..) \beta ^{e} \mid } $$ $$= \mid \frac{.d_{t+1} d_{t+2}..}{. d_{1} d_{2} ... d_{t} d_{t+1}..} \mid \beta ^{-t} $$ از آنجایی که $d_{1} \neq 0 $ لذا حداقل مخرج کسر $ 0.1$ است که در مبنای $ \beta $ برابر $\beta ^{-1} $ است پس در آخر داریم:

$$ \frac{ \mid fl(x)-x \mid }{ \mid x \mid } \leq \frac{\beta ^{-t}}{\beta ^{-1}} =\beta ^{1-t}$$

Comments

دوستان عزیز ممنون از لطفتون

در رابطه ی $ \frac{|(. d_{t+1}d_{t+2} ...)  \beta ^{e-t}| }{|(.  d_{1} d_{2}...  d_{t}d_{t+1} ...)  \beta ^{e}|} $
مقدار   $ \  \beta ^{-t} $    از کجا امده من این قسمت را متوجه نشدم البته در قسمت اثبات روش گرد کردن استفاده کردیم البته با علت مشخص ولی اینجا متوجه این قسمت نشدم  میشه لطف کنید اینو توضیح بیشتری بدید.

---

نما در واقع یک عدد صحیح است که تعداد مکانهایی که ممیز باید به چپ یا راست منتقل شود را نشان میدهد در این رابطه صورت در واقع باید
$(/ 0..0  d_{t+1}  d_{t+2}..)  \beta ^{e}$باشد که با حرکت ممیز به سمت راست به اندازه $t$ مکان به صورت $(/d_{t+1}  d_{t+2}..)  \beta ^{e-t}$ نمایش داده می شود.