چرا نیم گروه به همراه قوانین حذف گروه میشود؟

Question

اثبات اینکه نیم گروه به همراه قوانین حذف تشکیل گروه می دهد چگونه است؟

Comments

قانون جذب چیه؟
منظورتون قانون حذف هست؟
یک نیم گروه که در آن قوانین حذف هم برقرار است نمی توان گفت گروه است مثلا $2\mathbb Z\setminus \{0\}$ با عمل ضرب بسته و شرکت پذیر است و قوانین حذف چپ و راست هم برقرارند ولی گروه نیست.
ولی این گزاره درسته: اگر $G$ یک نیم گروه ((متناهی)) باشد که قوانین حذف چپ و راست برقرارند آنگاه یک گروه است.
حالا نمیدونم من درست منظورتونو متوجه شدم یا نه!

---

البته اگر مجموعه اعداد صحیح رو هم مثال می زدید مشکلی پیش نمیومد و باز هم نیم گروه بود و قوانین حذف چپ و راست هم برقرار بودند؛ اما گروه نبود.

---

@M.B
میشه بگید چرا مثالی که من زدم بسته نیست؟

---

اصلاح شد. فکر کردم عمل مجموعه رو جمع در نظر گرفتید.

Answer 1

با تشکر از پاسخ fardina@ فرض کنیم $G$ نیم گروهی متناهی است. چون قوانین حذف برقرار است پس توابع $f_{a}(x)=ax$ و $ g_{a}(x)= xa$ ، از $G$ به $G$ توابعی یک به یک و بنابراین پوشا هستند (چون مجموعه متناهی است). پس عناصری مثل $x,y$ وجود دارند بطوریکه $ay=y$ و $xa=a$ . نشان می دهیم $y,x$ همانی های چپ و راست هستند. برای هر $t\in G$ عنصری مثل $s\in G$ وجود دارد که $t=as$. بنابراین $xt=x(as)=(xa)s=as=t$. به همین ترتیب می توان دید $ty=t$. با توجه به این مطلب $x=xy=y$. پس $y$ عضو همانی است. اکنون نشان می دهیم $a$ وارون پذیر است. می دانیم $s,w\in G$ وجود دارند که $y=as=wa $. اکنون با استفاده از قوانین شرکت پذیری به راحتی می توان دید $s=was=w$. لذا $ a $ وارون پذیر است. پس $G$ یک گروه است.

توجه داریم این استدلال فقط برای مجموعه های متناهی درست است.

Comments

با تشکر فراوان از همه دوستان