به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
474 بازدید
در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط fardina

اثبات اینکه نیم گروه به همراه قوانین حذف تشکیل گروه می دهد چگونه است؟

توسط fardina
+1
قانون جذب چیه؟
منظورتون قانون حذف هست؟
یک نیم گروه که در آن قوانین حذف هم برقرار است نمی توان گفت گروه است مثلا $2\mathbb Z\setminus \{0\}$ با عمل ضرب بسته و شرکت پذیر است و قوانین حذف چپ و راست هم برقرارند ولی گروه نیست.
ولی این گزاره درسته: اگر $G$ یک نیم گروه ((متناهی)) باشد که قوانین حذف چپ و راست برقرارند آنگاه یک گروه است.
حالا نمیدونم من درست منظورتونو متوجه شدم یا نه!
توسط M.B
ویرایش شده توسط M.B
+1
البته اگر مجموعه اعداد صحیح رو هم مثال می زدید مشکلی پیش نمیومد و باز هم نیم گروه بود و قوانین حذف چپ و راست هم برقرار بودند؛ اما گروه نبود.
توسط fardina
@M.B
میشه بگید چرا مثالی که من زدم بسته نیست؟
توسط M.B
+1
اصلاح شد. فکر کردم عمل مجموعه رو جمع در نظر گرفتید.

1 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+3 امتیاز
توسط M.B

با تشکر از پاسخ fardina@ فرض کنیم $G$ نیم گروهی متناهی است. چون قوانین حذف برقرار است پس توابع $f_{a}(x)=ax$ و $ g_{a}(x)= xa$ ، از $G$ به $G$ توابعی یک به یک و بنابراین پوشا هستند (چون مجموعه متناهی است). پس عناصری مثل $x,y$ وجود دارند بطوریکه $ay=y$ و $xa=a$ . نشان می دهیم $y,x$ همانی های چپ و راست هستند. برای هر $t\in G$ عنصری مثل $s\in G$ وجود دارد که $t=as$. بنابراین $xt=x(as)=(xa)s=as=t$. به همین ترتیب می توان دید $ty=t$. با توجه به این مطلب $x=xy=y$. پس $y$ عضو همانی است. اکنون نشان می دهیم $a$ وارون پذیر است. می دانیم $s,w\in G$ وجود دارند که $y=as=wa $. اکنون با استفاده از قوانین شرکت پذیری به راحتی می توان دید $s=was=w$. لذا $ a $ وارون پذیر است. پس $G$ یک گروه است.

توجه داریم این استدلال فقط برای مجموعه های متناهی درست است.

توسط
+1
با تشکر فراوان از همه دوستان

لطفا برای گسترش و ادامه فعالیت محفل ریاضی از آن حمایت کنید:

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...