با تشکر از پاسخ fardina@
فرض کنیم $G$ نیم گروهی متناهی است. چون قوانین حذف برقرار است پس توابع $f_{a}(x)=ax$ و
$ g_{a}(x)= xa$ ، از $G$ به $G$ توابعی یک به یک و بنابراین پوشا هستند
(چون مجموعه متناهی است). پس عناصری مثل $x,y$ وجود دارند بطوریکه $ay=y$ و $xa=a$ . نشان می دهیم $y,x$ همانی های چپ و راست هستند. برای هر $t\in G$ عنصری مثل
$s\in G$ وجود دارد که $t=as$. بنابراین $xt=x(as)=(xa)s=as=t$. به همین ترتیب می توان دید $ty=t$. با توجه به این مطلب $x=xy=y$. پس $y$ عضو همانی است.
اکنون نشان می دهیم $a$ وارون پذیر است. می دانیم $s,w\in G$ وجود دارند که
$y=as=wa $. اکنون با استفاده از قوانین شرکت پذیری به راحتی می توان دید $s=was=w$. لذا
$ a $ وارون پذیر است. پس $G$ یک گروه است.
توجه داریم این استدلال فقط برای مجموعه های متناهی درست است.
