معادله$ \frac{ \dot{x}^2 }{x^3}=c $ را حل کنید

Question

$ \frac{ \dot{x}^2 }{x^3}=c $

$ \dot{x} $بر حسب $t$ و$x(0)=1$ ,$x(2)=4$

Answer 1

داریم: $$\frac{ \dot{x}^2 }{x^3}=c \Rightarrow \dot{x} ^2=x^3c$$ پس داریم: $$ \frac{dx}{dt} = \dot{x}= \underline{+} \sqrt{ x^3c} \Rightarrow \frac{dx}{\underline{+} \sqrt{ x^3c} } =dt $$ حال از طرفین انتگرال میگیریم داریم: $$\frac{-2}{ \underline{+}\sqrt{cx} } + c' = \frac{1}{ \sqrt{c} } \int \frac{dx}{ \underline{+}x^{ \frac{3}{2} } } = \int \frac{dx}{\underline{+} \sqrt{ x^3c} } =\int dt=t$$ اگر از صفر تا دو انتگرال بگیریم میتوانیم مقدار $c$ را پیدا کنیم. $$\frac{-2}{ 2\sqrt{c} }-\frac{-2}{ \sqrt{c} } = \int_1^4 \frac{dx}{ \underline{+}\sqrt{ x^3c} } =\int_0^2 dt=2$$ یعنی $$\frac{1}{ \sqrt{c} } =2 \Rightarrow c= \frac{1}{4} $$ کافیست این مقدار را در جواب جایگذاری کنیم.

Comments

@erfanm
توو بازه ای که شما انتگرال گرفتین,از کجا میدونیم که تابعمون توو کل این بازه پیوسته و تعریف شده هستش؟؟؟

---

@erfanm
مجهول $ c' $ با قرار دادن شرایط ابتدا و انتها حذف میشه,اون رو چطور باید محاسبه کرد؟؟؟

---

تابع رادیکالی است که تو دامنه ی خود(اعداد مثبت) پیوسته نیز هست.

---

بله حق با شماست.

---

در شرایط اولیه اومده اگر مقدار $t$صفر باشه مقدار$x$ برابر $1$ میشه کافیه در جواب اون رو قرار بدهیم.