معادله$ \frac{1}{x \sqrt{1+ \dot{x} ^2} }=c $را حل کنید

Question

$ \frac{1}{x \sqrt{1+ \dot{x} ^2} }=c $

$ \dot{x} $ مشتق $x$نسبت به$t$ و $x(0)=0$ ,$x(1)= \sqrt{3} $

Comments

فکر میکنم برای حل این معادله باید از تغییر متغیر $\dot{x}=tan(u)$ استفاده کرد

Answer 1

خیلی راحت یک طرفین وسطین و مقداری ساده‌سازی دارید $$\frac{dx}{\sqrt{(\frac{1}{cx})^2-1}}=dt$$ اکنون از دو طرف انتگرال بگیرید (من برای انتگرال سمت چپ از نرم‌افزار Maple استفاده کردم). داریم: $$\frac{c^2x^2-1}{c^2x\sqrt{(\frac{1}{cx})^2-1}}=t+d$$ که $d$ ثابتی جدید است. اکنون دوباره با طرفین وسطین و ساده‌سازی داریم: $$x=\sqrt{\frac{1}{c^2}-(t+d)^2}$$ علت دادن دو نقطه نیز داشتن دو ثابت در پاسخ عمومی نهایی بوده‌است. با جایگذاری آنها داریم: $$d^2=\frac{1}{c^2},\; 3=\frac{1}{c^2}-(1+d)^2$$ از این دو برابری خواهیم داشت $d=-2$ و $\frac{1}{c^2}=4$ (توجه کنید که با توجه به ظابطهٔ تابع نیازی به دانستن مقدار خود $c$ نداریم). در پایان $x=\sqrt{4t-t^2}$.