معادله $- \frac{3}{2} \dot{x} ^2+x=c$را حل کنید

Question

معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید: $- \frac{3}{2} \dot{x} ^2+x=c$

$\dot{x}$ مشتق $x$ نسبت به $t$ است و $x(0)=0$و $x(2)=2$

Comments

@fardina
برچسب این سوالا معادلات دیفرانسیل باشه بهتر نیست؟

Answer 1

داریم: $$- \frac{3}{2} \dot{x} ^2+x=c \Rightarrow \dot{x} ^2=- \frac{2}{3}(c-x)= \frac{2}{3} (x-c)$$ پس داریم: $$\frac{dx}{dt} = \dot{x}= \sqrt{ \frac{2}{3} (x-c)} \Rightarrow \frac{dx}{ \sqrt{ \frac{2}{3} (x-c)} } =dt$$ حال از طرفین انتگرال میگیریم داریم: $$3 \sqrt{ \frac{2}{3} (x-c)}+ c' = \int \frac{dx}{ \sqrt{ \frac{2}{3} (x-c)} } =\int dt=t$$ اگر از صفر تا دو انتگرال بگیریم میتوانیم مقدار $c$ را \یدا کنیم. $$3( \sqrt{ \frac{2}{3} (2-c)}- \sqrt{ \frac{2}{3} (-c)})= \int_0^2 \frac{dx}{ \sqrt{ \frac{2}{3} (x-c)} } =\int_0^2 dt=2$$