با عرض سلام و خدا قوت
منم چند بار سعی کردم ولی به نتیجه ای نرسیدم ولی مشابه سوال شما رو اینجا
پیدا کردم.
حالا اگه پاسخی که اونجا مطرح شده رو ملاک قرار بدیم؛ این کار با روشی که برای اثبات گنگ بودن $log_{2} 3$ به کار می بردید امکان پذیر نیست ( که البته بازم تاکید می کنم بر اساس ادعای ایشان)
اما اثباتی که ارائه می کنه به این صورته:
اگر $log_{2} log_{2} 3$ عددی گویا باشه؛ پس $log_{2} 3$ توان گویایی از 2 است و درنتیجه یک عدد جبری است. که این نتیجه ،قضیه گلفوند_اشنایدر
را نقض می کند.
(برداشت من از شکل معادل قضیه گلفوند_اشنایدر به این صورته: چون 3 و 2 اعداد جبری ناصفری هستند پس $ \frac{log3}{log2} $ یا عددی گویاست یا عددی متعالی. اما می دانیم که $log_{2} 3$ گویا نیست ؛ پس قطعا متعالی است)
