گنگ بودن لگاریتم تو در تو

Question

میخواستم اثبات کنید : $ log_{2} log_{2} 3 $ گنگ هست. من سعی کردم همانطور که لگاریتم دو سه رو اثبات میکردیم که گنگ هست این رو هم اثبات کنم ولی نشد

Comments

@آزادazad پس از بودن در سایت به مدت یک سال انتظار می‌رود با روش نوشتن یک پرسش مناسب آشنا باشید. چندین بار در قالب دیدگاه گفته شده‌است که عنوان پرسش را مناسب انتخاب کنید. به پست زیر نگاه کنید:
https://math.irancircle.com/11973
الآن به نظر خودتان جمله‌ای که در عنوان پرسش نوشتید درست است؟ هر عبارتی که دارای لگاریتم‌های تو در تو باشد گنگ است؟ پس $\log_2(\log_2 16)$ چیست؟

Answer 1

با عرض سلام و خدا قوت

منم چند بار سعی کردم ولی به نتیجه ای نرسیدم ولی مشابه سوال شما رو اینجا پیدا کردم.

حالا اگه پاسخی که اونجا مطرح شده رو ملاک قرار بدیم؛ این کار با روشی که برای اثبات گنگ بودن $log_{2} 3$ به کار می بردید امکان پذیر نیست ( که البته بازم تاکید می کنم بر اساس ادعای ایشان)

اما اثباتی که ارائه می کنه به این صورته:

اگر $log_{2} log_{2} 3$ عددی گویا باشه؛ پس $log_{2} 3$ توان گویایی از 2 است و درنتیجه یک عدد جبری است. که این نتیجه ،قضیه گلفوند_اشنایدر را نقض می کند.

(برداشت من از شکل معادل قضیه گلفوند_اشنایدر به این صورته: چون 3 و 2 اعداد جبری ناصفری هستند پس $ \frac{log3}{log2} $ یا عددی گویاست یا عددی متعالی. اما می دانیم که $log_{2} 3$ گویا نیست ؛ پس قطعا متعالی است)

Comments

البته هر عدد حقیقی یا گنگ هست یا گویا که اعداد گویا جبری اند اعداد گنگ هم یا جبری اند یا متعالی البته با توجه به اینکه لگاریتم دو سه متعالی هست قابل اثبات هست ولی به شکل ساده میخواستم اگه بشه