در یک دنباله حسابی مجموع بیست جمله اول سه برابر مجموع دوازده جمله اول است. اگر جمله سوم برابر 6 باشد، جمله دهم را بیابید.

Question

در یک دنباله حسابی مجموع بیست جمله اول سه برابر مجموع دوازده جمله اول است. اگر جمله سوم برابر ۶ باشد، جمله دهم کدام است؟

1. ۳۲
2. ۳۴
3. ۳۶
4. ۳۸

ویرایشگر: پرسش‌کننده در بخش مرجع نوشته‌بوده‌است «کنکور ۹۰»، اما چه رشته‌ای؟

Comments

@Parimah به شما خوش آمد می گویم.
در قسمت عنوان صورت سوال خودتان را بنویسید.
تلاشتان را برای رسیدن به جواب بنویسید.
آموزش تایپ ریاضی در سایت قرار داده شده مطالعه بفرمایید و به کار بگیرید.
شما فرمول $ S_{n}= \frac{n[2a+(n-1)d]}{2} $ را بلدید؟

Answer 1

جمع $n$ جملهٔ اول دنبالهٔ حسابی برابر جملهٔ شروعِ $a$ و قدر نسبتِ $d$ برابر با $\frac{n(2a+(n-1)d))}{2}$ است. با جایگذاری $n=20$ و $n=12$ و فرض پرسش خواهیم‌داشت:

$$10(2a+19d)=3\big(6(2a+11d)\big)$$

باضرب و ساده کردن داریم $d=-2a$ و چون جمله سوم برابر ۶ است، داریم

$$6=a_3=a_1+(3-1)d=a_1+2d$$

با کمک رابطهٔ $d=-2a$ داریم $a=-2$ و $d=4$ لذا $a_{10}=-2+36=34$.

Answer 2

اگر فرمول $S_n$ را نمی‌دانید می‌توانید جملات را به شکل زیر بنویسید و عملیات را ادامه دهید.

$$\color{blue}{x-5d+x-4d+\dots+x-d+x+x+d+\dots+x+14d = 3(x-5d+x-4d+\dots+x-d+x+x+d+\dots+x+6d)}$$ $$\color{green}{20x+90d=36x+18d \Rightarrow x= \frac{9}{2}d}$$

از طرفی جمله سوم که $x-3d$ است را مساوی 6 قرار م‌ دهیم و با جایگزینی $\frac{9}{2}d$ مقدار $d$ برابر4 و $x$ مساوی 18 می‌شود. به این ترتیب جملهٔ برای دهم که $x+4d$ است داریم:

$$ \color{red}{x+4d=18+16=34} $$