برای اینکه از درست بودن جواب $13+12\sqrt{2}$ کاملاً مطمئن بشیم، اول یه چکلیست دقیق ریاضی با استفاده از مثلثات انجام میدیم. توی هندسه یه قانون داریم که میگه مساحت چندضلعیهای محاطی به ترتیب قرارگیری ضلعها بستگی نداره، پس ما ضلعها رو برای ایجاد تقارن به صورت یکدرمیان $2,3,2,3,\dots$ میچینیم. اگه رئوس رو یکدرمیان به هم وصل کنیم، شکل به یه مربع مرکزی و چهار مثلث همنهشت دورش تقسیم میشه. چرا مربع؟ چون هر جفت ضلع ۲ و ۳ دقیقاً یکچهارم محیط دایره رو میپوشونن، پس کمان روبروشون $90^\circ$ میشه و وتر این کمان همون ضلع مربعه. زاویهٔ رأس اون چهار تا مثلث کناری هم، چون روبروی کمانی معادل سهچهارم دایره ($270^\circ$) قرار داره، طبق قانون زاویهٔ محاطی برابر با $\frac{270^\circ}{2}=135^\circ$ میشه. مساحت هر مثلث رو با فرمول سینوس حساب میکنیم: $Area_{\Delta}=\frac{1}{2}(2)(3)\sin(135^\circ)=\frac{1}{2}(6)(\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{3\sqrt{2}}{2}$. برای مساحت مربع وسط هم باید ضلعش (بذاریم $s$) رو پیدا کنیم که با قانون کسینوسها توی مثلث کناری به دست میاد: $s^2=2^2+3^2-2(2)(3)\cos(135^\circ)$ که با جاگذاری $\cos(135^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ میشه $s^2=4+9+6\sqrt{2}=13+6\sqrt{2}$. در نهایت مساحت کل میشه مساحت مربع به علاوه ۴ تا مثلث، یعنی $(13+6\sqrt{2}) + 4(\frac{3\sqrt{2}}{2})$ که ساده شدهش دقیقاً میشه $13+12\sqrt{2}$ و صحت جواب رو تضمین میکنه.
حالا بریم سراغ روش اصلی و کاملاً هندسی که بهش «روش جعبه» میگن و نیازی به سینوس و کسینوس نداره. باز هم فرض میکنیم اضلاع به صورت متناوب چیده شدن تا زوایای داخلی شکل برابر باشن (همون $135^\circ$). اگه چهار تا ضلعی که طولشون ۳ هست رو از دو طرف امتداد بدیم تا همدیگه رو قطع کنن، یه مربع بزرگ درست میشه که هشتضلعی رو کامل احاطه میکنه. چون زاویه داخلی هشتضلعی $135^\circ$ هست، زاویهٔ خارجی میشه $180^\circ-135^\circ=45^\circ$. این یعنی تو چهار گوشهٔ شکل، مثلثهای قائمالزاویهای درست میشن که متساویالساقین هم هستن. وترِ هر کدوم از این مثلثهای گوشه، همون ضلع هشتضلعی با طول ۲ هست. پس اگه طول ساقهای این مثلثها رو $x$ بگیریم، طبق قضیه فیثاغورس داریم $x^2+x^2=2^2$ که نتیجه میده $2x^2=4$ و در نهایت $x^2=2$ یا $x=\sqrt{2}$. حالا طول ضلع اون مربع بزرگی که ساختیم چی میشه؟ تشکیل شده از یه ضلع ۳ در وسط و دو تا ساق $x$ در طرفین، پس طول ضلع مربع بزرگ $L=x+3+x=3+2\sqrt{2}$ هست. مساحت کل این مربع بزرگ با اتحاد جبری محاسبه میشه: $L^2=(3+2\sqrt{2})^2=9+2(3)(2\sqrt{2})+(2\sqrt{2})^2$ که برابر میشه با $17+12\sqrt{2}$. مرحلهٔ آخر هم اینه که مساحت اون قسمتهای اضافی (مثلثهای گوشه) رو کم کنیم. ما ۴ تا مثلث داریم که قاعدهشون $x$ و ارتفاعشون $x$ هست، پس مساحت کل گوشهها میشه $4\times(\frac{1}{2}x^2)=2x^2$. چون میدونیم $x^2=2$، مساحت اضافی دقیقاً میشه ۴. با کم کردن این عدد از مساحت مربع بزرگ، جواب نهایی و دقیق مساحت هشتضلعی برابر با $(17+12\sqrt{2})-4=13+12\sqrt{2}$ به دست میاد.
