دو مجموعهٔ $A$ و $B$ باید چه شرط هایی داشته باشند تا $A-B=B-A$ برقرار باشد؟

Question

من می‌دانم که $A \subseteq B$ یعنی هر $x$ که در $A$ است، در $B$ هم است. و می‌دانم که $A-B$ یعنی $x$هایی که در $A$ هستند ولی در $B$ نیستند. اما نمی‌فهمم چه شرطی باید بگذرایم تا $A-B=B-A$ برقرار بشود.

Comments

@M.SH با جمله ای که خود شما بیان کرده اید ،$A-B$ و $B-A$ در حالت کلی مجزا هستند مگر وقتی که این دو مجموعه مساوی باشند که در اینصورت حاصلشان تهی و برابر خواهد شد.

---

خب . الان این جا چون کهAو B  مجزا هستند این دوتا با هم برابر میشه ؟
شرط میشه مجزا بودنشون ؟؟ درسته ؟
این که مجزا هستند یعنی ربطی به هم ندارند؟؟؟

Answer 1

با عضو گیری می توان جواب داد اما یه اثبات دیگر که مورد علاقه ام می باشه انجام می دهم

$$A-B=B-A \Rightarrow \quad A \bigcup (A-B) = A \bigcup (B-A) \Rightarrow A=A \bigcup B \;\;(1) $$

• البته از تساوی آخر می توان نتیجه گرفت $ B \subseteq A $ است.

  $$A-B=B-A \Rightarrow \quad B\bigcup (A-B) =B \bigcup (B-A) \quad \Rightarrow B=B\bigcup A \;\;(2) $$

• البته از تساوی آخر می توان نتیجه گرفت $A \subseteq B $ است.

از رابطه های 1 و 2 نتیجه می شود A=B. این نتیجه را از زیرمجموعه همدیگر بودن A و B هم می توان گرفت.

Answer 2

توجه کنید که $A=(A-B)\cup(A\cap B)$ که اثبات آن برایتان باید روشن باشد، برای نمونه یک نمودار ون ساده بکشید. به طور مشابه داریم $B=(B-A)\cup(A\cap B)$. اکنون اگر داشته‌باشیم $A-B=B-A$، آنگاه چون اجتماع گرفتن دو طرف تساوی با یک مجموعهٔ یکسان (در اینجا $A\cap B$) تساوی را حفظ می‌کند، پس خواهیم‌داشت

$$(A-B)\cup(A\cap B)=(B-A)\cap(A\cap B)$$

که هم‌ارز است با

$$A=B$$

اینک برعکس، اگر داشته‌باشیم $A=B$، آنگاه چون تفاضل گرفتن دو طرف تساوی با یک مجموعهٔ یکسان (دوباره $A\cap B$) تساوی را حفظ می‌کند خواهیم داشت؛

$$A-(A\cap B)=B-(A\cap B)$$

اما توجه کنید که از قبل احتمالا دیده‌اید که $A-B=A-(A\cap B)$ و مشابه آن $B-A=B-(A\cap B)$. پس داریم

$$A-B=B-A$$

پس چیزی که در آخر نتیجه شد این است که گزارهٔ $A-B=B-A$ هم‌ارز با گزارهٔ $A=B$ است، چون هر یک دیگری را نتیجه می‌دهد.

Answer 3

به نام خدا.

تعریف زیر مجموعه را به یاد می آوریم:

$A \subseteq B \Longleftrightarrow \forall x; (x \in A \Longrightarrow x \in B)$

حال تساوی دو مجموعه را به یاد آورید:

$A=B \Longleftrightarrow [(A \subseteq B) \wedge (B \subseteq A)]$

حال می رویم سراغ مسئله شما.

می دانیم که $A-B=B-A$ است. پس می توان نوشت:

$ \forall x;(x \in A \wedge x \notin B \Longrightarrow x \notin A \wedge x \in B )$

$ \wedge $

$\forall x;(x \in B \wedge x \notin A \Longrightarrow x \notin B \wedge x \in A )\space (1)$

ارزش گزاره مرکب فوق باید درست باشد.

بیایید فرض کنیم که
$A \neq B$ باشد. ارزش گزاره مرکب $ \forall x;(x \in A \wedge x \notin B \Longrightarrow x \notin A \wedge x \in B )$

نادرست است. پس ارزش گزاره ی مرکب $(1)$ نادرست خواهد بود.

حال فرض کنید $A=B$ باشد.

توجه کنید که ارزش گزارهای مرکب $ x \in A \wedge x \notin B$

و $x \notin A \wedge x \in B$

نادرست می باشند. پس ارزش گزارهای مرکب $x \in A \wedge x \notin B \Longrightarrow x \notin A \wedge x \in B $

و

$x \in B \wedge x \notin A \Longrightarrow x \notin B \wedge x \in A $

به انتفای مقدم درست خواهند بود. پس ارزش گزاره $(1)$ درست خواهد بود.

Comments

@Elyas1 خطی که نوشتید «$A\neq B$ باشد ارزش گزارهٔ ... نادرست است»، خیلی روشن نیست. یعنی خواننده از $A\neq B$ می‌تواند انتظار $\forall x\;\colon\;x\in A\not\Longleftrightarrow x\in B$ را داشته باشد ولی نه عبارتی که نوشتید مگر اینکه توضیحی بیفزائید که نشان دهد چرا نادرستی آن گزاره‌ای که نوشتید هم‌ارز یا نتیجهٔ نابرابری دو مجموعه است.

---

@AmirHosein اگر نشان دهم در زمانی که $A,B$ برابر نیستند $A$ نمی تواند زیر مجموعه $B$ و $B$ نمی تواند زیر مجموعه $A$ باشد، پاسخم کامل می شود؟

---

@Elyas1 احتمالا منظورتان در جملهٔ دیدگاه‌تان «یا» بوده‌است نه «و». از نابرابر بودن دو مجموعه نمی‌توانید نتیجه بگیرید که زیرمجموعه‌بودن از هر دو طرف حتما برقرار نیست. برای نمونه $\lbrace 1,2\rbrace$ و $\lbrace 1\rbrace$ نابرابر هستند ولی یکی زیرمجموعهٔ دیگری است. چیزی که از نابرابری دو مجموعه حتما نتیجه می‌شود این است که حداقل یکی از آن دو زیرمجموعهٔ دیگری نیست.

---

@AmirHosein در واقع منظورم بنده این است.
اگر $A \neq B$ باشد و  با توجه به اینکه $A-B = B-A$ است  آنگاه می توان نشان داد:
نمی تواند  $A\subseteq B$  باشد.
زیرا اگر باشد:
$A-B=B-A=A-(A \cap B)=A-A=  \oslash   $
پس باید$A=B$ باشد که تناقض با فرض اولیه می باشد.
همینطور می توان نشان داد که  $B$ زیر مجموعه$A$ نیست.

---

@Elyas1 خط محاسبات آخرتان از برابر بودن $A-B=B-A$ استفاده‌ای نمی‌کند. از فرض $A\subseteq B$ نتیجه می‌شود که $A-B=\emptyset$. یعنی از سمت چپ به راست عبارت دوم ($B-A$) اضافه است.
اما از این موضوع بگذریم. چیزی که شما نشان دادید این است که اگر $A\subseteq B$ آنگاه $A-B=\emptyset$ و چون $B-A=A-B$ پس باید $B-A$ هم مجموعهٔ تهی باشد. و می‌توانید از آن نتیجه بگیرید که $B\subseteq A$ نیز باید برقرار باشد. از این دو نتیجه می‌شود که $A=B$. اگر می‌خواهید با فرض خلف پیش بروید، از اینکه $A\neq B$ خواهیم داشت که حداقل یکی از دو سمت زیرمجموعه بودن نباید برقرار باشد. اما اگر یکی از دو سمت برقرار باشد آنگاه با کمک $A-B=B-A$ با استدلال بالا به برقراری زیرمجموعه‌بودن از سمت مخالف هم خواهیم رسید و تناقض با فرض خلف خواهد شد. پس با فرض خلف‌مان خواهیم داشت که زیرمجموعه بودن از هر دو سمت نباید برقرار باشد. آیا از این مطلب می‌خواهید استفاده کنید و ادامه دهید؟

---

@AmirHosein بله.
می خواهم از این نتیجه بگیرم که گزاره مرکب $ \forall x;(x \in A \wedge x  \notin B \Longrightarrow x \notin A \wedge x \in B )$  درست نخواهد بود.