به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
80 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط amir7788 (1,114 امتیاز)
  • آیا مثلثی وجود دارد که طول اضلاع و نیمساز ها عددهای طبیعی باشند؟
  • نشان دادم که مثلث با اضلاع و ارتفاعات طبیعی وجود دارد مثلا مثلث قائم الزاویه به اضلاع15، 20 و 25 این خاصیت دارد. اما برای سوال از فرمول «مربع نیمساز هر زاویه برابر حاصل ضرب دو ضلع مجاور به آن زاویه منهای حاصل ضرب دو قطعه که نیمساز روی ضلع روبرو ایجاد می کند» استفاده کردم ولی به جوابی نرسیدم.
توسط Elyas1 (2,233 امتیاز)
من فرض کردم که طبیعی باشند و به نتیجه های زیر رسیدم:

 $(b+c)^2 | a^2bc$

 $(a+c)^2 | b^2ac$

 $(a+b)^2 | c^2ab$

به نظر شما می شود با این ها به نتیجه رسید که اضلاع طبیعی نیستند؟
توسط amir7788 (1,114 امتیاز)
منم جواب نمی دونم احتمال می دهم چنین مثلثی وجود داشته باشه

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط mort (197 امتیاز)

سلام

مثلث ABC را در نظر داشته باشید و فرض کنید سه ضلع a و b و c اعدادی طبیعی هستند که $ \gcd(a,b)=1 $

آنگاه خواهیم داشت: $ a^{2}+b^{2}-2ab\cos( \theta )=c^{2} $

طرف راست معادله عددی طبیعی است پس باید سمت چپ معادله یعنی $ a^{2}+b^{2}-2ab\cos( \theta ) $ نیز باید عددی طبیعی باشد پس $ 2ab\cos( \theta )$ باید عددی طبیعی باشد. از عبارت بالا مقادیر محدودی برای $ \cos( \theta ) $ محاسبه می شود (n طبیعی است.)

$ \cos( \theta )= \pm 1 $

و

$ \cos( \theta )= \pm \frac{1}{2} $

و

$ \cos( \theta )=0 $

و

$ \cos( \theta )= \pm \frac{n}{a}:n< a $

و

$ \cos( \theta )= \pm \frac{n}{b}:n< b $

و

$ \cos( \theta )= \pm \frac{n}{ab}:n< ab $

مقدار $ \cos( \theta ) $ باید طوری انتخاب شود که مقدار $ a^{2}+b^{2}-2ab\cos( \theta ) $ قابلیت مربع کامل شدن را نیز داشته باشد.

یا a و b اعداد فیثاغورسی هستند و نیازی به $ -2ab\cos( \theta ) $ ندارند یا آنکه $ a^{2}+b^{2}-2ab\cos( \theta )=(a-b)^{2} $. در صورت اول $ \cos( \theta )=0 $ و در صورت دوم $ \cos( \theta )=1 $. اگر $ \cos( \theta )=0 \Rightarrow \theta =\frac{ \pi }{2} $ و $ \cos( \theta )=1 \Rightarrow \theta =0 $. مثلثی با زاویه 0 رادیان وجود ندارد پس $ \frac{ \pi }{2} $ تنها حالت صحیح است.

در مثلث قائم الزاویه نیز حتما و حداقل دو نیمساز گنگ اند.

توسط amir7788 (1,114 امتیاز)
ویرایش شده توسط amir7788
آیا خط آخر قضیه است؟؟ در غیر این صورت نیاز به اثبات دارد؟ همچنین صورت دوم (حالت دوم) مربع کامل بودن به صورت مربع a-b درست نیست مثلا a=5 و b=6 و کسینوس تنا را 7/60 بگیرید در رابطه حالت دوم صدق نمی کند؟؟
توسط mort (197 امتیاز)
سلام @amir7788
منظور من این بود که باید پذیرفت $ a^{2}+b^{2}-2ab\cos( \theta )=(a-b)^{2} $ و براساس این تساوی نتیجه زیر بدست می آید که منطقی نیست:
$ 2ab\cos( \theta )=2ab \Rightarrow \cos( \theta )=1 \Rightarrow  \theta =0 $
توسط amir7788 (1,114 امتیاز)
ویرایش شده توسط amir7788
mort@  این رابطه برای چی باید بپذیریم. مربع کامل بودن این نتیجه را نمی دهد. اینطور نیست

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...