سلام
مثلث ABC را در نظر داشته باشید و فرض کنید سه ضلع a و b و c اعدادی طبیعی هستند که $ \gcd(a,b)=1 $
آنگاه خواهیم داشت:
$ a^{2}+b^{2}-2ab\cos( \theta )=c^{2} $
طرف راست معادله عددی طبیعی است پس باید سمت چپ معادله یعنی $ a^{2}+b^{2}-2ab\cos( \theta ) $ نیز باید عددی طبیعی باشد پس $ 2ab\cos( \theta )$ باید عددی طبیعی باشد. از عبارت بالا مقادیر محدودی برای $ \cos( \theta ) $ محاسبه می شود (n طبیعی است.)
$ \cos( \theta )= \pm 1 $
و
$ \cos( \theta )= \pm \frac{1}{2} $
و
$ \cos( \theta )=0 $
و
$ \cos( \theta )= \pm \frac{n}{a}:n<a $
و
$ \cos( \theta )= \pm \frac{n}{b}:n<b $
و
$ \cos( \theta )= \pm \frac{n}{ab}:n<ab $
مقدار $ \cos( \theta ) $ باید طوری انتخاب شود که مقدار $ a^{2}+b^{2}-2ab\cos( \theta ) $ قابلیت مربع کامل شدن را نیز داشته باشد.
یا a و b اعداد فیثاغورسی هستند و نیازی به $ -2ab\cos( \theta ) $ ندارند یا آنکه $ a^{2}+b^{2}-2ab\cos( \theta )=(a-b)^{2} $. در صورت اول $ \cos( \theta )=0 $ و در صورت دوم $ \cos( \theta )=1 $. اگر $ \cos( \theta )=0 \Rightarrow \theta =\frac{ \pi }{2} $ و $ \cos( \theta )=1 \Rightarrow \theta =0 $. مثلثی با زاویه 0 رادیان وجود ندارد پس $ \frac{ \pi }{2} $ تنها حالت صحیح است.
در مثلث قائم الزاویه نیز حتما و حداقل دو نیمساز گنگ اند.
