فرض کنید $p_n$, $n$ امین عدد اول می باشد. نشان دهید برای هر $n$ بزرگتر از یک نامساوی زیر برقرار است: $p_{n+1}< p_1 p_2 p_3...p_n +1$

Question

فرض کنید $ p_n$, $n$ امین عدد اول باشد. نشان دهید برای هر $n$ بزرگتر از یک نامساوی زیر برقرار است:

$p_{n+1}< p_1 p_2 p_3...p_n +1$

تلاش انجام شده: سعی کردم با استقرا و برهان خلف نشان دهم، ولی به نتیجه ای نرسیدم.

گویا این سوال با برهان خلف ثابت می شود.

Comments

@Elyas1
به ازای n=1 ظاهرا تساوی برقرار میشه

---

@good4us ویرایش کردم. فکر کنم اکنون درست شد.

---

برای n=1 نامساوی درست نیست لطفا ویرایش کامل کنید

---

سلام @Elyas1
با استفاده از قضیه چبیشف می توان مسئله شما را به راحتی ثابت نمود. (با استفاده از $ 2p_{n}+1>p_{n+1} $) من در همین صفحه ثابت کردم $ p_{1}p_{2...}p_{n}+1 \geq  p_{n+1} $.
شما مسئله را با گذاشتن شرط n>1 ناآسان کردید و بنظر منطقی نمی آید برای اثبات این مسئله از قضیه چبیشف که قضیه ای بسیار پیچیده است استفاده کرد.

---

@mort شرط $n>1$ برای حکم (نابرابری اکید) الزامی است. یعنی چه با گذاشتن این شرط، پرسش را ناآسان کرده‌اند؟

Answer 1

به نام خدا.

به فرض $n\geq 2$، می‌خواهیم نشان دهیم که $p_{n+1}$ باید از $p_1p_2...p_n$ کوچکتر باشد، آنگاه $p_1p_2\cdots p_n+1$ حتی در صورت اول بودن نیز نمی‌تواند $(n+1)$-اُمین عدد اول باشد. فرض خلف می‌کنیم که حکم پرسش نادرست است. پس $p_{n+1} \geq p_1p_2...p_n+1$ . روشن است که

$$p_{n+1} \geq p_1p_2\cdots p_n+1>p_1p_2...p_n> p_1p_2\cdots p_n-1>p_n$$

توجه کنید که نامساوی آخر سمت راست از $n\geq 2$ استفاده کرده‌است.

با توجه به فرض خلف‌مان بین $p_n$ تا $p_1p_2...p_n$ هیچ عدد اولی نیست. اما عدد $p_1p_2\cdots p_n-1$ بر هیچ یک از اعداد $p_1$ تا $p_n$ بخش‌پذیر نیست و اعداد بزرگتر مساوی $p_{n+1}$ از این عدد بزرگتر هستند پس آنها نیز نمی‌توانند آن را بشمارند. پس این عدد باید عددی اول باشد. این یک تناقض با فرض انجام شده است زیرا با فرض خلف‌مان $n+1$ اُمین عدد اول بین $p_n$ تا $p_1p_2...p_n$ نیست. پس فرض خلف باطل و از آنجا حکم اصلی‌مان اثبات می‌شود.

Answer 2

بنا به قضیه تجزیه اعداد اول به عاملهای اول چون $n \geq 2$ پس عدد $A=p_1p_2...p_n-1 \geq p_1p_2-1=5>1$ دارای یک عامل اول مانند $q$ است.این $q$ نمیتواند هیچکدام از $p_i$ ها که $1 \leq i \leq n$ باشد زیرا در غیر اینصورت:

$ \exists k:1 \leq k \leq n \wedge q=p_k \wedge q| A \Rightarrow q | A-p_1p_2...p_n \Rightarrow q | 1 \bot $

$ \Rightarrow P_{n+1} \leq q \wedge q | A \Rightarrow p_{n+1} \leq q \wedge q \leq A \Rightarrow p_{n+1} \leq p_1p_2...p_n-1< p_1p_2...p_n+1$

$ \Box $

Answer 3

سلام یکی از حیرت آور ترین مسائل ریاضی اعداد اول هستند. ریاضیدانان فقط با داشتن تعریف «عدد اول عددی است که به جز خودش و یک بر عددی دیگر بخش پذیر نباشد» توانستند راه حلی برای بررسی روند رشد اعداد اول پیدا کنند.

اشتباهم را به صورت زیر جبران می کنم

الف) اگر $p_1p_2...p_n+1$ عددی اول باشد آنگاه حتما بزرگتر از $p_n$ است پس ثابت می شود $p_1p_2...p_n+1 \geq p_{n+1}$

ب) اگر عددی مرکب باشد آنگاه

$p_1p_2...p_n+1=mp_k$

می دانیم عبارت $p_1p_2p_3...p_n+1$ بر اعداد اول $p_1,p_2,...,p_n$ بخش پذیر نیست پس $p_k$ نمی تواند $p_1,p_2,p_3,...,p_n$ باشد بنابراین $p_k$ حتما عدد اولی بزرگتر از $p_n$ است حال می توان عبارت را به صورت زیر نوشت

$p_1p_2...p_n+1=mp_{k} : k>n$

از آنجایی که حاصل عبارت مرکب است پس $m \geq 2$ می باشد بنابراین حتی اگر $k=n+1$ باشد عبارت زیر بدست می آید:

$p_1p_2p_3...p_n+1=mp_{n+1}$

و از آنجایی که $mp_{n+1}>p_{n+1}$ پس خواهیم داشت

$p_1p_2...p_n+1>p_{n+1}$

Comments

عدد $2×3×5×7×11×13+1$ اول نیست زیرا بر $59$ بخش پذیر است. درحالی که گفته اید عدد $p_1p_2p_3...p_n+1$ اول است.

بهتر می بود اینگونه می گفتید:

فرض می کنیم که:

$p_{n+1}>p_1p_2...p_n+1>p_n$

که در این صورت $p_1p_2...p_n+1$ بر هیچ یک از اعداد $p_1 تا p_n$ بخش پذیر نیست پس عددی اول است. اعداد بزرگتر مساوی $p_{n+1}$ را هم برای این بررسی نکردیم زیرا بنا به فرض بزرگتر از $p_1p_2...p_n+1$ هستند. پس این تناقض با فرض انجام شده است.


به نظرم باید نشان دهید که حالت تساوی اتفاق نمی افتد چون اگر پیش بیاید با آنچه که سوال خواسته تضاد دارد.

---

سلام @Elyas1 عزیز
اشتباهم رو ویرایش کردم. من تا عدد ۲*۳*۵*7+1 رفتم و فکر کردم برای همه عددی اول خواهد بود درحالی که اینطور نشد.

---

در قسمت الف شما نتیجه گرفته اید که  $p_1p_2...p_n+1 \geq p_{n+1}$ در حالی که سوال گفته حتی حالت تساوی هم اتفاق نمی افتد. درست است که $p_1p_2..p_n+1$ عددی اول است ولی برابر با $p_{n+1}$ نیست و این را باید نشان داد.

---

حالت تساوی اتفاق می افتد:
$ p_{1}+1=p_{2} \Rightarrow 2+1=3 $

---

سوال گفته است برای $n$ های بزرگتر از یک نشان دهید نامساوی برقرار است. آیا برای $n$ های بزرگتر از یک حالت تساوی پیش می آید؟

---

سلام @Elyas1
سوال رو به صورت زیر ویرایش کنید:
"ثابت کنید برای n های بزرگتر مساوی 1 عبارت زیر برقرار است:
$ p_{1}p_{2...}p_{n}+1 \geq p_{n+1} $"
زیرا که به ازای n=1 نیز عبارت بالا درست خواهد بود. چون تنها جفت عدد اولی که با هم یک واحد فاصله دارند اعداد 2 و 3 هستند.
دوست عزیز من کجا نوشتم $ p_{1}p_{2}...p_{n}+1=p_{n+1} $!
من گفتم اگر $ p_{1}p_{2}...p_{n}+1 $ مرکب باشد آنگاه باید بتوان این عبارت به صورت $  \alpha p_{ \beta } $ نوشت. و همچنین ممکن نیست که $ p_{ \beta } $ عدد اول یکُم تا n اُم باشه زیرا که عبارت $ p_{1}p_{2...}p_{n}+1 $ بر اعداد اول یکُم تا n اُم بخش پذیر نیست. پس نتیجه گرفتم $ p_{ \beta } $ حتما عدد اول غیر از عدد اول یکُم تا n اُم هست. پس $ p_{ \beta } $ میتونه $ p_{n+1} $ یا $ p_{n+2} $ یا ... باشه! از اونجایی که عبارت $  \alpha p_{ \beta } $ مرکب است اگر $  \alpha =1 $ باشد آنگاه حاصل عددی اول خواهد بود پس $  \alpha >1 $. بنابراین
$ p_{1}p_{2}...p_{n}+1= \alpha p_{n+ \delta } $
نامساوی $  \alpha p_{n+ \delta }>p_{n+1} $ نیز کاملا بدیهی است. (زیرا $  \alpha >1, \delta >1 $ )
به جای $  \alpha p_{n+ \delta } $ در نامساوی بالا عبارت $ p_{1}p_{2}...p_{n}+1 $ را جایگذاری کنید و به نتیجه زیر برسید:
$ p_{1}p_{2}...p_{n}+1>p_{n+1} $

---

@mort پرسش نیاز به ویرایش جدید ندارد و با صورت کنونی‌اش درست است. آقای @Elyas1 درست می‌گویند، از کنار هم گذاشتن الف و ب در متن پاسخ نسخهٔ کنونی‌تان به $\geq$ می‌رسید نه به نابرابری اکید. چیزی که در این دیدگاه برای رد کردن برابری آوردید مربوط به حالت ب پاسخ‌تان است و دلیلی بر این نمی‌شود که در حالت الف‌تان که یک خط نوشته‌اید، گفته شده باشد که عدد اول بعدی نمی‌شود!