به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
–1 امتیاز
79 بازدید
در دبیرستان توسط Saye21 (0 امتیاز)

۴ مرد و ۳ زن به تصادف در یک ردیف مینشینند. با چه احتمالی هیچ دو زنی در کنارهم نیستند؟ چگونه با روش متمم حداقل دو زن در کنار هم باشند حل میشود

توسط AmirHosein (14,034 امتیاز)
+2
@Saye21 به نظر خودتان چیزی که در عنوان نوشتید یک عنوان مناسب برای این پست است یا جمله‌ای در ادامهٔ متن پست‌تان؟
توسط Saye21 (0 امتیاز)
–2
هرچیزی رو برای عنوان انتخاب کردم سایت قبول نکرد.فقط جواب سوالو میخوام
توسط AmirHosein (14,034 امتیاز)
+1
@Saye21 یکی از این چیزهایی که برای عنوان انتخاب کرده‌بودید را بگوئید تا اشکالش را برایتان توضیح دهیم. اینکه «فقط جواب سوالو میخوام» توجیهی برای زمان و ارزش نگذاشتن برای پرسش‌تان نمی‌شود. پست زیر می‌تواند راهنمای خوبی برایتان باشد که یک پرسش مناسب چه ویژگی‌هایی نیاز دارد و چگونه نوشته می‌شود.
https://math.irancircle.com/11973

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط Elyas1 (2,239 امتیاز)
ویرایش شده توسط Elyas1

به نام خدا.

استفاده از اصل متمم برای حل این مسئله جالب نیست زیرا برای تعداد بیشتر به مشکل برخواهید خورد. به هر حال من از سه روش استفاده می کنم که راه سوم کوتاه و ساده تر است.

۱_از اصل متمم کمک می گیریم. دو حالت وجود دارد:

دو زن کنار هم باشند.

مردان به $4!$ می توانند در این صف باشند. مردان را با $M$ نشان می دهیم. مثلاً مردان به شکل زیر در ردیف هستند:

$M_1M_2M_3M_4$

بین هر دو مرد جای خالی وجود دارد و همینطور بعد مرد آخر و قبل مرد اول که تعدادشان $5$ تاست. دوتا از این $5$ تا جایگاه را انتخاب می کنیم و سپس باید یکی از این دو جایگاه را به عنوان جایگاهی که دو نفر هستند انتخاب کنیم. حال به $3×2×1$ طریق می توان آنها را قرار داد. پس می شود:

$ 4!×\binom{5}{2} × \binom{2}{1} ×3×2×1=2880$

سه زن کنار هم باشند.

مانند قبل تمام مردان به $4!$ می توانند در صف قرار گیرند. حال از این $5$ جایگاه یکی را انتخاب و سپس زنان را قرار می دهیم:

$4!× \binom{5}{1} ×3×2×1=720$

پس جواب می شود:

$7!-(720+2880)=1440$

2_ راه دوم استفاده از همان اصل متمم است. ابتدا دو جای خالی را در نظر می گیریم. زن ها را در آن قرار می دهیم. حال این دو نفر را یک بسته در نظر می گیریم و سپس بایک زن باقیمانده و $4$ مرد آنها را جایگشت می دهیم. ولی تکرار وجود دارد. زمانی که سه زن در کنار هم باشند، یکبار آن بسته زن اول و دوم، و یکبار هم زن دو و سوم است. پس تعداد حالاتی که حداقل دو زن کنار هم اند می شود:

$3×2×6!-(6×5×4!)=3600$

پس پاسخ می شود:

$7!-3600=1440$

  1. راه سوم:

ابتدا تمام مردان را در صف قرار می دهیم و سپس از $5$ فضای خالی سه تا را انتخاب می کنیم و سپس زنان را قرار می دهیم:

$4!× \binom{5}{3} ×3×2×1=1440$

پس احتمال خواسته شده برابر است با:

$ \frac{1440}{5040} = \frac{2}{7} $

توسط Saye21 (0 امتیاز)
+1
اهان خیلی ممنونم.
توسط Elyas1 (2,239 امتیاز)
+1
@ Saye21 می توانید به عنوان تشکر پاسخ را با تیک سبز تایید کنید. یک روش دیگر نیز افزودم

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...