به نام خدا.
استفاده از اصل متمم برای حل این مسئله جالب نیست زیرا برای تعداد بیشتر به مشکل برخواهید خورد. به هر حال من از سه روش استفاده می کنم که راه سوم کوتاه و ساده تر است.
۱_از اصل متمم کمک می گیریم. دو حالت وجود دارد:
دو زن کنار هم باشند.
مردان به $4!$ می توانند در این صف باشند. مردان را با $M$ نشان می دهیم. مثلاً مردان به شکل زیر در ردیف هستند:
$M_1M_2M_3M_4$
بین هر دو مرد جای خالی وجود دارد و همینطور بعد مرد آخر و قبل مرد اول که تعدادشان $5$ تاست. دوتا از این $5$ تا جایگاه را انتخاب می کنیم و سپس باید یکی از این دو جایگاه را به عنوان جایگاهی که دو نفر هستند انتخاب کنیم. حال به $3×2×1$ طریق می توان آنها را قرار داد. پس می شود:
$ 4!×\binom{5}{2} × \binom{2}{1} ×3×2×1=2880$
سه زن کنار هم باشند.
مانند قبل تمام مردان به $4!$ می توانند در صف قرار گیرند. حال از این $5$ جایگاه یکی را انتخاب و سپس زنان را قرار می دهیم:
$4!× \binom{5}{1} ×3×2×1=720$
پس جواب می شود:
$7!-(720+2880)=1440$
2_ راه دوم استفاده از همان اصل متمم است. ابتدا دو جای خالی را در نظر می گیریم. زن ها را در آن قرار می دهیم. حال این دو نفر را یک بسته در نظر می گیریم و سپس بایک زن باقیمانده و $4$ مرد آنها را جایگشت می دهیم. ولی تکرار وجود دارد. زمانی که سه زن در کنار هم باشند، یکبار آن بسته زن اول و دوم، و یکبار هم زن دو و سوم است. پس تعداد حالاتی که حداقل دو زن کنار هم اند می شود:
$3×2×6!-(6×5×4!)=3600$
پس پاسخ می شود:
$7!-3600=1440$
- راه سوم:
ابتدا تمام مردان را در صف قرار می دهیم و سپس از $5$ فضای خالی سه تا را انتخاب می کنیم و سپس زنان را قرار می دهیم:
$4!× \binom{5}{3} ×3×2×1=1440$
پس احتمال خواسته شده برابر است با:
$ \frac{1440}{5040} = \frac{2}{7} $
