ثابت کنید تنها عضو خودتوان یک گروه، عضو همانی آن است.

Question

با استفاده از قوانين حذف، نشان دهيد كه تنها عضو خودتوان (یعنی عضوی چون $x$ که $x^2=x\star x=x$) در هر گروه، عضو همانی آن است.

تلاش من: من به این فکر کردم به دلیل یکتا بودن جواب مسئله و همینطور با استفاده از جدول کیلی می توان نشان داد که هیچ عضوی به غیر از e نمی تواند در گروه عضو خودتوان باشد ولی با استفاده از قوانین حذف نمیدونم چجوری اثباتش کنم...

Answer 1

طبق تعریف خود توانی داریم که
x^{2} = x یعنی xx=x خب کافیه که دو طرف رو از چپ در وارون ایکس ضرب کنید . یعنی داریم x^-۱xx= x^-1x پس x=1