چرادر حاصلضرب چند لگاريتم ميتوان مبنا ها وآنتي لگاريتم هارا به دلخواه عوض كرد؟؟

Question

اثبات اين دو قضيه رو ميخواستم..

$$log_{b} (a). log_{f} (e)=log_{b} (e). log_{f} (a)$$

$$log_{b} (a). log_{f} (e)=log_{f} (a). log_{b} (e)$$

ودر كل اينكه چرادر حاصلضرب چند لگاريتم ميتوان مبنا ها وآنتي لگاريتم هارا به دلخواه عوض كرد؟؟

Answer 1

با دو مر حله تساوي زير را اثبات مي كنيم...

$$log_{b} (a). log_{f} (e)=log_{b} (e). log_{f} (a)$$

مرحله اول...

يادآوري

$$u.log_{y}(x)= log_{y} ( x^{u})$$

حال با توجه به قضيه مذكور مينويسيم...يعني

$$\underbrace{log_{b} ( a )} . log_{f} ( e ) = log_{f} (e^{log_{b} (a)} )$$

مرحله دوم..

يادآوري

$$a^{log_{c} (b)} = b^{log_{c} (a)}$$

باتوجه به قضيه بالا مينويسيم..يعني

$$\underbrace{log_{b} ( a )} . log_{f} ( e ) = log_{f} (e^{log_{b} (a)} )= log_{f}( a^{log_{b} (e)} ) =log_{b} (e). log_{f} (a)$$

بنابراين اثبات كامل شد

براي قسمت دوم..

$$log_{b} (a). log_{f} (e)=log_{f} (a). log_{b} (e)$$

يادآوري

$$log_{y} (x)= \frac{1}{log_{x} (y)}$$

بنابراين مينويسيم...

$$log_{b} (a). log_{f} (e)= \frac{1}{log_{a} (b). log_{e} (f)}$$

حال باتوجه رابطه ايي كه اثباتش كرديم..آنتي لگاريتم هارا جابه جا ميكنيم

$$log_{b} (a). log_{f} (e)= \frac{1}{log_{a} (b). log_{e} (f)} = \frac{1}{log_{a} (f). log_{e} (b)}$$

حال معكوسش ميكنيم..يعني

$$log_{b} (a). log_{f} (e)= \frac{1}{log_{a} (b). log_{e} (f)} = \frac{1}{log_{a} (f). log_{e} (b)} =log_{f} (a). log_{b} (e)$$

اثبات كامل شد.

.باتوجه به اين دوقضيه ميتوان در حاصلضرب چند لگاريتم به دلخواه جاي انتي لگاريتم ها و مبنا هارا عوض كرد.

Answer 2

ابتدا به این نکته توجه داریم که :

$$log_b(a)=\frac {1}{log_a(b)}$$

همچنین با فرض اینکه:

$$log_b(a)=x \Longrightarrow a=b^x$$ و همچنین $$log_f(e)=y \Longrightarrow e=f^y$$ داریم:

$log_b(a).log_f(e)=x.y$

حال نشان میدهیم سمت راست تساوی نیز برابر $x.y$ میشود. با جایگذاری کردن خواهیم داشت:

$$log_b(e).log_f(a)= log_b(f^y).log_f(b^x)=ylog_b(f).xlog_f(b)=x.y.log_b(f).log_f(b)=x.y.\frac{log_f(b)}{log_f(b)}=x.y$$

برای تساوی دوم هم دقیقا به همین روش عمل شود.