توان و راديكال و لگاريتم

Question

چند سوال دارم از توان و راديكال و لگاريتم چون به هم مرتبط هستن ميخوام تو اين پيچ يكي يكي بپرسم.!! ببخشيد اگه زياد شد!! و ببخشيد كه زياد توضيح ميدم وزمينه سازي ميكنم !!ميخوام هم واسه خودم و ديگران ي جمع بندي باشه!

تعريف توان در حالت ابتدايي (فقط براي اعداد طبيعي) به صورت زير است :

$$\forall a \in R , n \in N: \underbrace{ a× a ×a ×...× a} = a^{n}$$

باتوجه به تعريف متوان پنچ قضيه كلي زير رو ميتوان اثبات كرد:

$$\forall a \in R,(n,m) \in N$$

$$a^{n} × a^{m} = a^{n+m}$$

$$a^{n} × b^{n} = (ab)^{n}$$

$$a^{n} ÷ a^{m} = \begin{cases}a^{n-m}& n> m \\ \frac{1}{ a^{m-n} } &m> n \end{cases}$$

$$a^{n} ÷ b^{n} = ( \frac{a}{b}) ^{n}$$

$$(a^{n}) ^{m} = a^{n×m }$$

حالا ميخواهيم توان صفر رو تعريف كنيم:

$$a^{m} ÷ a^{m} = a^{0}$$

$$a^{m} ÷ a^{m} = ( \frac{a}{a}) ^{m}$$

$$a^{0}= 1^{m} =1$$

با اين حال پنج قضيه كلي براي توان صفر هم قابل قبوله .

حال ميخواهيم توان منفي (اعداد صحيح منفي) رو تعريف كنيم .

$$a^{0} ÷ a^{m} = a ^{-m}$$

$$a^{0} ÷ a^{m} = \frac{1}{ a^{m} }$$

$$a^{-m} = \frac{1}{ a^{m} }$$

سوال:

چرا اين $a^{0} ÷ a^{m}$ برابر است با $a^{-m}$

مگه طبق اين قانون نبايد اينطوري بشه:

$$a^{n} ÷ a^{m} = \begin{cases} a^{n-m} & n> m\\ \frac{1}{ a^{m-n} }& m> n \end{cases}$$ $$a^{0} ÷ a^{m} = \frac{1}{ a^{m-0} }= \frac{1}{ a^{m} } , m> 0$$

يعني همواره اين$a^{0} ÷ a^{m}$ برابر اين $\frac{1}{ a^{m} }$ باشد ؟!!!

سوالاي بعدي رو بعد از جواب اين سوال ميپرسم ممنون

Comments

خب شما جواب دیگری برای آن سراغ دارید ؟؟

---

@farshchian2090
متاسفانه نه !!!!

---

اینکه $a^{-m} = \frac{1}{ a^{m} }$ خود تعریف توان منفی است. نیازی به اثبات نیست در اصل ما نمیگیم که چون

$$a^{0} ÷ a^{m} = a ^{-m}$$
و
$$a^{0} ÷ a^{m} =  \frac{1}{ a^{m} }$$
آنگاه
$$a^{-m} = \frac{1}{ a^{m} }$$

این مطلب و تعاریفی که به این صورت نوشتید را از کجا آوردید؟براساس چه منبعی نوشتید؟

---

@erfanm
اينارو از معلم وكتاب آموزشي با تقسيم بندي خودم
در همين توان منفي نگفتن تعريفه فقط اينطوري نوشتم گفته !!
پس با توجه به گفته شما بايد غلط گفته باشه !!!
درسته ؟؟

---

@erfanm
ببخشيد ي سوال ديگه :
وقتي در رياضي مفهومي تعريف ميشه دلايلي داره كه اينطوري تعريف ميكنن ديگه درسته ؟؟
چرا توان منفي رو اينطوري $a^{-m} = \frac{1}{ a^{m} }$تعريف كردند ؟؟

Answer 1

@amirm20 به نظر من اگر دقیق بخوایم به این سوال جواب بدیم فکر میکنمم که اگر $a^0$ رو همون $a^m\div a^m$ در نظر بگیریم جواب به سادگی دستتون میاد. یعنی $$a^0\div a^m= \frac {a^0}{a^m}=\frac {a^m \div a^m}{a^m}=\frac {\frac {a^m}{a^m}}{a^m} =\frac {a^m}{a^m.a^m}=\frac {a^m}{a^{2m}}=\frac {1}{a^m}=a^{-m}$$

حتی اگر فرض کنیم $a^0=a^n \div a^n$ به ازای یک n دیگر باز هم مقدار $\frac 1{a^m}$ به دست میاد.

اگر فکر میکنید از یه روش دیگه ای اگه بریم مقدار دیگه ای پیدا میشه لطفا مطرح کنید .