در انتخاب تصادفی از ۲۰ شیشه مربا که ۷تا از یک نوع و ۸تا از نوع دیگرند، دست کم چند شیشه لازم است تا بیش از ۳ تا از یکی و بیش از ۲ تا از دیگری باشند؟

Question

در سردابه‌ای تاریک، ۲۰ شیشه‌مربا گذاشته‌ایم که ۸تای آنها مربای توت‌فرنگی و ۷تای دیگرشان مربای‌تمشک و ۵تای باقیمانده مربای زغال‌اخته هستند. اگر به صورت تصادفی (به خاطر تاریکی) از این ۲۰ شیشه چند تا بخواهیم برداریم، آنگاه دست‌کم چند تا شیشه باید برداریم تا مطمئن باشیم که حداقل ۴ شیشه از یک نوع مربا و ۳ شیشه از نوع دیگر برداشته‌ایم؟

1. 7
2. 8
3. 9
4. 10
5. 11

Answer 1

به نام خدا.

نشان می دهیم برای $ 12$ تا برداشتن، اطمینان وجود ندارد.

اگر $ 12$ شیشه برداریم، $8$ تای آن از توت فرنگی و $2$ تا تمشک و $2$ تا زغال اخته اتفاق می افتد که خلاف آن چه که سوال خواسته است.(درست است که حداقل $4$ تا از یک نوع داریم ولی $3$ تا از نوع دیگر نداریم) این حالت ممکن است که اتفاق بیافتد پس اطمینان در زمان برداشتن $12$ شیشه وجود ندارد.

از این نتیجه می گیریم که برای حالت های پایین تر نیز اطمینان وجود ندارد.( مثلاً برای $11$ شیشه $8$ توت فرنگی و $1$ تمشک و $2$ زغال اخته)

حال ادعا می کنیم که با برداشتن $13$ شیشه اطمینان وجود دارد. اگر $13$ شیشه برداریم، $7$ شیشه باقی خواهد ماند. توجه کنید که در این $13$ شیشه حتما حداقل $4$ شیشه از یک نوع وجود دارد زیرا اگر از هر نوع حداکثر سه تا برداشته باشیم، آنگاه تعداد شیشه ها حداکثر $9$ تاست، در حالی که ما $13$ شیشه برداشته ایم پس بنابر اصل لانه کبوتری، مربایی وجود دارد که تعداد شیشه های برداشته شده ی آن بیشتر مساوی $4$ تاست. فرض می کنیم حداقل $4$ شیشه موجود برای توت فرنگی است. دو حالت دیگر را خودتان بررسی کنید.

1. توجه داشته باشید که در بالا نشان دادیم که زمانی که $13$ شیشه برداریم از یک نوع مربا حداقل $4$ شیشه موجود است. برای اینکه نشان دهیم که برای $13$ شیشه اطمینان وجود ندارد باید در این $7$ شیشه باقی مانده حداقل $3$ تا زغال اخته( یعنی حداکثر $2$ تا زغال اخته در$ 13$ شیشه برداشته شده موجود باشد) و حداقل $5$ تا تمشک باشد(یعنی حداکثر $2$ تا تمشک در $13$ شیشه برداشته شده موجود باشد) که یعنی باید حداقل $8$ شیشه باقی بماند در حالی که $7$ شیشه داریم. این یعنی نوعی از مربا وجود دارد که حداقل $3$ شیشه از آن در میان $13$ شیشه برداشته شده موجود باشد.)

Comments

و همچنین یک پرسش هم مطرح هست که گفته حداقل ولی شما بدترین حالت رو در نظر گرفتید ممنون میشم اگه بیشتر توضیح بدید چون اگه میگفت حداکثر هم میتونستیم اینجوری بریم

---

یه تئوری دیگه هم مطرحه که اگه بخوایم بگیم حداقل، میتونیم ۵ تا شیشه ذغال اخته رو برداریم و ۳ تا از مربای تمشک که در این صورت میشه ۸ تا

---

@Zeinab589 جملهٔ «جواب‌های مختلفی توسط افراد مختلف داده شود» برای یک نظرسنجی مناسب است. پرسشی که پرسیده‌اید یک پاسخ یکتا دارد و به سلیقهٔ افراد وابسته نیست. دیدگاه آخرتان هم نادرست است. پرسش تأکید کرده‌است که انتخاب‌ها به تصادف صورت می‌گیرند چون به خاطر تاریکی نمی‌توانید تشخیص دهید داخل شیشه‌هایی که برمی‌دارید چیست. یعنی نمی‌توانید چون نیت کرده‌اید ۵ تا فلان و ۳ تا فلان بردارید، در گزینشی که در سرداب آمده در پرسش نیز دقیقا اینها را بردارید. تنها پس از اینکه از سرداب با شیشه‌ها بیرون آمدید خواهید دید که چه برداشته‌اید.

---

@mahdiahmadileedari بهتر است پرسش «حداقل چند تا شیشه برداریم تا حداکثر چهار تا از یک نوع و سه تا از یک نوع دیگر» را در یک پست جدا بپرسید. به هر حال پاسخ «صفر» می‌شود. @Elyas1 توجه کنید که عددهای بزرگتر از ۴ نادرست هستند چون اگر $n$ تا بردارید که $n$ بین ۵ و ۸ است ممکن است همه‌شان از یک نوع باشند پس حداکثر ۴ تا از یک نوع رد می‌شود. اگر بزرگتر از ۸ بردارید هم ممکن است ۸ تایشان از یک نوع باشند که باز با حداکثر ۴ تا از یک نوع مشکل دارد. پس اصلا بدون اینکه به قسمت دوم شرط برویم عددهای ۵ به بالا با قسمت اول شرط مشکل دارند. اگر هیچی برندارید حداکثر ۴ تا از یکی و حداکثر ۳ تا از دیگری برقرار هستند چون ۰ تا از اولی و ۰ تا از دومی دارید. اگر ۱ شیشه بردارید باز هم مشکلی نیست. یکی از یک نوع و ۰ تا از نوع دیگر دارید. اگر ۲ تا بردارید مشکلی نیست چون یا ۲ تا از یک نوع و ۰ تا از نوع دیگر دارید یا اینکه یکی از یک نوع و یکی از نوع دیگر. اگر ۳ تا بردارید ممکن است حالت یکی از یک نوع و یکی از نوع دوم و یکی از نوع سوم پیش آید که جزو حداکثر ۴ تا از یکی و حداکثر ۳ تا از دیگری شمرده نمی‌شود چون نوع سوم هم برداشته شده‌است. ۴ تا شیشه هم همین مشکل را دارد. پس عددهای پذیرفتنی ۰ و ۱ و ۲ هستند. چون حداقل خواسته‌شده‌است پس پاسخ بدیهیِ ۰ را داریم.

---

@AmirHosein استدلالی بسیار زیبا و عالی. این را همیشه اعتقاد دارم که بیان در آموزش حرف اول را می زند هرچه درسر داشته باشید بیان نداشته باشید جایی می لنگد .

Answer 2

اگر پاسخ گزینه ها را بررسی کنیم، و شرط اینطور باشد که سه شیشه دیگر مربا های مختلف بپذیرند، آن گاه پاسخ یازده می‌شود. چون در حالتی می‌توان ۸ شیشه توت فرنگی داشت و مابقی (۳) تای دیگر فرق می کنند. اما اگر ۳ مربای دیگر هم باید از یک نوع خاصی باشند، به علاوه ۸ شیشه که (توت فرنگی حساب شوند) حداقل ۵ شیشه باید باشند تا مطمئن شویم حداقل ۳ تا از یک نوع داریم. P(۵)=Q(2)G(2)+R(1) پس طبق اصل لانه کبوتری، حداقل ۲+۱=۳ مربای یکسان داریم. پس جواب ۱۳ داریم.