اگر برای هر $n$، $a_{n,n}=1$ و $a_{n,n+1}=-1$ و برای $m\neq n$، $a_{m,n}=0$ ثابت کنید $\sum_n\sum_ma_{m,n}=1$ ولی $\sum_m\sum_na_{m,n}=0$.

Question

فرض کنید به ازای هر $n,m \in N $، دنباله $a_{m,n}$ با شرط زیر تعریف شده باشد:

$a_{n,n}=+1$ ,$a_{n,n+1}=-1$

و اگر $m \neq n$ یا $m \neq n+1$ آنگاه $a_{m,n}=0 $. نشان دهید

$ \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty}(a_{m,n})=1$

$ \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty}(a_{m,n})=0$

تلاش من برای اثبات مسئله: چونکه برای $m \neq n$ یا $m \neq n+1$ داریم $a_{m,n}=0 $ بنابراین:

$\sum_{m=1}^{\infty}(a_{m,m}+a_{m,m+1}) =\sum_{m=1}^{\infty}(1-1)=0$

نظر شما چی هست و قسمت دیگر را چطور می‌توان نشان داد؟

Comments

@HimanMohammadi سپاس از اینکه پرسش‌تان را ویرایش کردید. بخش دوم را درست حل کردید. نکتهٔ بخش نخست این است که برای $n\geq 2$ مثل همین چیزی که انجام دادید صفر دارید ولی برای $n=1$ عضو $a_{1,1}$ برابر ۱ است و هر $a_{m,1}$ دیگری صفر است که $m\geq 2$. در واقع منفی یک زمانی می‌توانست ظاهر شود که $a_{0,1}$ را هم قبول کنید که در زیگمای آمده تولید نمی‌شود (چون $m$ از یک شروع می‌شود).

Answer 1

به صورت ماتریسی حل می کنم $$\begin{bmatrix} 1 & - 1&0&0&0&0& \cdots\\0&1&-1&0&0&0& \cdots\\0&0&1&-1&0&0& \cdots\\ \vdots &\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots \end{bmatrix}$$

• درایه های این ماتریس ویژگی‌های دنباله $a_{m, n}$ دارد.واضح است که مجموع هر سطر صفر است یعنی

$$ \sum _{n=1}a_{m, n} =0$$

بنابراین

$$\sum _{m=1}{\sum _{n=1}a_{m, n}} =0$$

• واضح است که مجموع درایه های ستون اول 1 و بقیه ستون ها نیز صفر است.

$$ \sum _{m=1}a_{ m,1} =1 \quad\sum _{m=1}a_{m, k} =0 for \quad k>1$$

بنابراین

$$ \sum _{n=1}{\sum _{m=1}a_{m, n}} =\sum _{m=1}a_{m, 1} +\sum _{m=1}a_{m, 2} +\sum _{m=1}a_{m, 3} +... =1$$

Comments

amir7788@ نمیدونم چرا در نمایش دچار اشکال می شود

---

good4us @ در پیش نمایش مشکلی ندارد اما در اینجا بفرم ریاضی نمایش نمی دهد برای همین عکس پیش نماش قرار می دهم تا رفع مشکل اما تصویر هم نمایش نمی دهد