در عبارت گویای $ \frac{2n^2+3n+5}{7} $، مقدار $n$ را چگونه باید بدست آوریم تا در حالت کلی صورت بر مخرج بخش پذیر شود؟

Question

با سلام خدمت تمام کاربران و اساتید محترم سایت محفل ریاضی ایرانیان

در عبارت گویای زیر:

$$ \frac{2n^2+3n+5}{7} $$

مقدار $n$ را چگونه باید بدست آوریم تا در حالت کلی صورت بر مخرج بخش پذیر شود؟ آیا برای به‌دست آوردن مقدار $n$ به‌طوری که در عبارت گویای بالا (و یا کلاً در این‌چنین عبارت‌ها) در حالت کلی صورت بر مخرج بخش‌پذیر شود، روش خاصی وجود دارد؟

تلاش انجام‌شده: سعی‌کردم بجای $n$ در صورت عبارت گویای بالا عددهای $...,4,3,2,1$ را قرار دهم تا یک دنبالهٔ عددی تشکیل‌شود و بعد از بین عددهای دنبالهٔ تشکیل‌شده، عددهایی را که بر $7$ بخش‌پذیر است را شمارهٔ جملهٔ‌شان را جداگانه بنویسم تا یک دنبالهٔ عددی دیگر تشکیل شود، جملهٔ عمومی این دنبالهٔ تشکیل‌شده، مقدار $n$ است که با قرار دادن در عبارت گویای بالا، صورت بر مخرج بخش‌پذیر می‌شود؛ این روش را خودم به‌دست آوردم، اما این روش کمی وقت‌گیر است و در عبارت‌های مختلف حتیٰ ممکن است بیشتر طول بکشد. می‌خواستم ببینم آیا روش دیگری وجود دارد؟

توجه: در تمام این سؤال، $n$ عددی صحیح است.

Answer 1

هر عدد صحیح n را میتونیم به صورت 7k یا 7k+1 یا ۷k+2 یا 7k+3 یا ۷k+4
یا 7k+5 یا ۷k+6 نوشت . با بررسی ساده میشه دید که تنها وقتی n=7k+4 , n=7k+5 باشد ، صورت به مخرج بخش پذیر است

Comments

در سوال گفته نشده است که $n$ عددی صحیح است و شما فرض کرده اید که عدد صحیح است. آیا نباید نشان داد که $n$ باید عددی صحیح باشد؟

---

مثلاً برای $n=1.5$ صورت بر مخرج بخش پذیر است.

---

@Elyas1 بادرود و ممنون از توجه‌تان.
متأسفانه فراموش‌کرده‌بودم که ذکر کنم $n$ عددی صحیح است.
اما حالا متن پرسش را ویرایش کردم و ذکر کردم که $n$ صحیح است.

---

بله درست میفرمایید . من فرض کردم که n عدد صحیح است . پس در حالتی که n عددی حقیقی باشد راه حل بنده درست نمیباشد .