شعاع و بازه همگرایی را مشخص کنید.

Question

. $$\sum _{n=0} ^ ∞ \frac {x^{ n²}} {2 ^n} $$

باسلام . من این رو با آزمون نسبت حل کردیم ولی آخرش نتونستم حل کنم. بقیه اش رو بلد نبودم . باید چه طور حل کنم؟؟ در صورت $x $به توان $n^2 $ست.

Comments

با توجه به توضیحات شما عبارت ریاضی را ویرایش کردم.

---

بله . الان درست شد.  خیلی ممنون از شما.
جوابش باید چه طور حل کنم. میشه یه توضیحی بدین لطفا.

Answer 1

بنام خدا.اگر را $a_{n}= \frac{x^{ n^{2} }}{2^{n}} $ درنظربگیریم داریم:

$$\lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{x\to b} \frac{ \frac{ x^{( n+1)^{2} } }{ 2^{n+1} } }{ \frac{ x^{ n^{2} } }{ 2^{n} } } = \lim_{n\to \infty}\frac{x^{(n+1)^2}2^n}{x^{n^2}2^{n+1}} = \lim_{n\to \infty}\frac{1}{2} x^{(n^2 + 2n + 1 - n^2)}= \lim_{n\to \infty} \frac{1}{2} x^{2n+1} $$

مقدارحد آخر بستگی به مقدار x دارداگر | x | بزرگتر از یک باشد مقدار حد بینهایت واگر$$-1 \leq x \leq 1$$باشدمقدار آن حد صفر ویا$ \frac{1}{2} $ خواهد بود بنابراین شعاع همگرایی یک وبازه همگرایی[1,1- ] می باشد.

Comments

@mdardah  . من هم تا همین جا که شده$ x $به توان $2n+1 $نوشتم ولی بعدش نفهمیدم باید چی کار کنم . حتی با آزمون ریشه هم حل کردم به جای$ x$ به توان$ 2n+1 $شد $x$ به توان$ n $. ولی من فکر می کردم حد این بی نهایت میشه.
الان یعنی این حد ،  بی نهایت نیست؟؟؟؟
ممنون میشم بهم جواب بدین.

---

اعداد بین 1و1- به هر توانی مثبتی برسندمقدار آن بین صفر ویک خواهد بود واین حد وقتی بینهایت است که
 بزرگترازیک باشدx

---

خیلی ممنونم از شما. حالا فهمیدم. ممنون.