@good4us به نظرم باید ابتدا ثابت کنید که
$q^2-1$ عددی صحیح است.
در اثبات صحیح بودن $q$ از دو قضیه زیر استفاده شده است.
فرض کنید $a,b,c$ اعداد صحیح باشند.
$(1)$. اگر $(a,b)=1$ و $(a,c)=1$ آنگاه $(a,bc)=1$ می باشد.
$(2)$. اگر $(a,b)=1$ و $a | bc$ آنگاه $a | c$
هر جا که از این قضیه ها استفاده شد، شماره آن نوشته می شود.
واضح است که $q$ عددی گنگ نیست. پس عددی گویاست. حال می توان نشان داد که با توجه به شرایط مسئله حتماً عددی صحیح است.
فرض کنید $q= \frac{m}{s} $ می باشد که در آن $(m,s)=1$ و اعداد صحیح اند. جمله عمومی دنباله هندسی به شکل
$a_n=a_1(q^{n-1})=a_1 \frac{m^{n-1}}{s^{n-1}} $
می باشد. توجه کنید که $(1)$ $(m^{n-1},s^{n-1})=1$
چون تمام جملات دنباله اعدادی صحیح هستند پس باید:
$s^{n-1} | a_1m^{n-1} \Longrightarrow s^{n-1}
\mid a_1$ $(2)$
اما $n$ می تواند هر عدد طبیعی باشد و اگر $s$ برابر با یک نباشد، می توان $n$ را طوری انتخاب کرد که از $a_1$ بزرگتر شود که در این صورت با اینکه جملات اعداد صحیح اند تناقض دارد پس $s=1$ است.
