انتگرال زیر چگونه محاسبه می شود ؟$∫sin²x cos²x dx $

Question

انتگرال $ \int sin²cos²x dx $را به دست آورید . با سلام. من می دونم که اگه توان $sin$ و توان $cos$ هر دو زوج باشه باید از فرمول های نصف کمان استفاده کنم تا ساده بشه و بعد انتگرال رو به دست بیارم.اما مشکل من اینه که الان حس می کنم با فرمول $sin²x +cos²x =1$ هم میشه توان یکی رو ساده کرد و مثلا همین جا اگه با همین فرمول ساده کنیم میشه $ \int sin²x (1-sin²x) d x$ که بعد میشه $ \int sin²-sin⁴x dx $ که بعد با فرمول های نصف کمان ساده میکنیم و حل می کنیم . الان برای همین مثال من باید برای ساده کردن اولش از فرمول نصف کمان استفاده کنم یا فرمول $sin²x +cos²x =1$ ؟؟؟ یا این که هر دو فرمول برای ساده کردن اولش میشه و مشکلی نداره ؟؟؟

Comments

@M.SH
در هر صورت، با استفاده از آن روابط مثلثاتی که گفتید، در نهایت پاسخ آخر یکسان هست.
اما در استفاده از رابطه مثلثاتی دوم (بسیار معروف)که نوشتید ، کمی محاسبات بیشتر خواهد بود.

برای ساده کردن در هر دو روش می بایست از فرمول کسینوس دوبرابر کمان استفاده شود.
  اگر بخواهید از راه توان های زوج بروید ابتدا باید از رابطه سینوس دوبرابر کمان استفاده کرده و بعد رابطه کسینوس دوبرابر کمان را بکار بگیرید،(البته بدون سینوس دوبرابر کمان هم می توان حل کرد، بستگی به نحوه حل دارد)

واگر از رابطه معروفی که نوشتید استفاده کنید، فقط از فرمول کسینوس دوبرابر کمان استفاده شود کافی است .

---

‌@ m.t.riazi
بله درسته
 الان که از دو روش نوشتم کاملا جواب ها یکی شد . فقط از فرمول $sin²x + cos²cos x =1 $ خیلی طولانی تر شد ولی از فرمول های نصف کمان که نوشتم خیلی کوتاه تر به جواب رسیدم.
در هر صورت جواب هر دو راه یکی شد.
خیلی ممنون از راهنمایی تون.
تشکر فراوان.