به نام خدا.
نامساوی زیر برای هر سه عدد حقیقی$a,b,c$ برقرار است:
$a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$
اثبات نامساوی فوق ساده است. فقط کافیست توجه کنید که:
$ \frac{a^2+b^2}{2} \geq ab$
$ \frac{a^2+c^2}{2} \geq bc$
$ \frac{c^2+a^2}{2} \geq ac$
از این سه نامساوی می توان نتیجه مطلوب را گرفت.
حال بیایید روی این نامساوی کار کنیم:
$a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ac \Longrightarrow 2(a^2+b^2+c^2) \geq 2(ab+bc+ac) \Longrightarrow 3(a^2+b^2+c^2) \geq a^2+b^2+c^2 +2(ab+bc+ac)\Longrightarrow a^2+b^2+c^2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3} $
حال می رویم سراغ مسئله شما.
اتحاد زیر را می نویسیم:
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac) \Longrightarrow 25-(a^2+b^2+c^2)=2(ab+bc+ac)$
توجه کنید که بیشترین مقدار $2(ab+bc+ac)$ زمانی رخ می دهد که $a^2+b^2+c^2$ کمترین مقدار باشد.
از نامساوی ای که ابتدا نوشتیم استفاده می کنیم:
$a^2+b^2+c^2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3} =\frac{25}{3}=8 .\overline{3} $
می دانیم $a,b,c$ اعداد صحیح اند. پس کمترین مقدار
صحیح $a^2+b^2+c^2$ برابر $9$ است.پس:
$(ab+bc+ac)_{max}= \frac{25-9}{2} =8$
توجه کنید که$a=-1,b=-2,c=-2$ درست است.
