به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
80 بازدید
در دبیرستان توسط Vartolu (14 امتیاز)
ویرایش شده توسط Math.Al

پرسش زیر را در نظر بگیرید.

حاصل جمع سه عدد صحیح منفی نه لزوماً متفاوت، $-5$ شده‌است. بیشترین مقدار مجموع حاصل‌ضرب دو به دوی آن‌ها چقدر است؟

الف) دو ب) چهار ج) هشت د) دوازده

من نمی‌فهمم منظورش از حاصل‌ضرب دو به دو چیه چون 3 تا عدد داده. ممنون می‌شم راهنمایی کنید به نظر خودم می‌شه 8.

توسط m.t.riazi (356 امتیاز)
ویرایش شده توسط m.t.riazi
+4
@Vartolu
 فرض کنیم که آن سه عدد صحیح منفی $x , y , z$ باشند، در اینصورت مجموع حاصلضرب دو به دوی این سه عدد بفرم : $xy+xz+yz$ خواهد بود.
توسط Vartolu (14 امتیاز)
+3
ممنون    .   .

1 پاسخ

+3 امتیاز
توسط Elyas1 (2,266 امتیاز)

به نام خدا.

نامساوی زیر برای هر سه عدد حقیقی$a,b,c$ برقرار است:

$a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$

اثبات نامساوی فوق ساده است. فقط کافیست توجه کنید که:

$ \frac{a^2+b^2}{2} \geq ab$

$ \frac{a^2+c^2}{2} \geq bc$

$ \frac{c^2+a^2}{2} \geq ac$

از این سه نامساوی می توان نتیجه مطلوب را گرفت.

حال بیایید روی این نامساوی کار کنیم:

$a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ac \Longrightarrow 2(a^2+b^2+c^2) \geq 2(ab+bc+ac) \Longrightarrow 3(a^2+b^2+c^2) \geq a^2+b^2+c^2 +2(ab+bc+ac)\Longrightarrow a^2+b^2+c^2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3} $

حال می رویم سراغ مسئله شما.

اتحاد زیر را می نویسیم:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac) \Longrightarrow 25-(a^2+b^2+c^2)=2(ab+bc+ac)$

توجه کنید که بیشترین مقدار $2(ab+bc+ac)$ زمانی رخ می دهد که $a^2+b^2+c^2$ کمترین مقدار باشد.

از نامساوی ای که ابتدا نوشتیم استفاده می کنیم:

$a^2+b^2+c^2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3} =\frac{25}{3}=8 .\overline{3} $

می دانیم $a,b,c$ اعداد صحیح اند. پس کمترین مقدار صحیح $a^2+b^2+c^2$ برابر $9$ است.پس:

$(ab+bc+ac)_{max}= \frac{25-9}{2} =8$

توجه کنید که$a=-1,b=-2,c=-2$ درست است.

توسط AmirHosein (14,040 امتیاز)
+4
@Elyas1 پاسخ‌تان صحیح است و گام آخری که انجام دادید واقعا لازم بود (۱+). چرا که با اینکه $8.\bar{3}$ کران پائینی بود ولی الزامی نداشت که مرز دقیق پائین باشد و ممکن می‌بود که مرز پائین دقیق مثلا ۱۰ باشد. ولی اینکه برای پاسخ آخرتان یعنی ۸ که کران بالایی هست یک مورد که دقیقا آن را اتخاذ کند یافتید نشان می‌دهد که مرز بالای دقیق برای تابع هدف است. با نرم‌افزار Mathematica نیز پاسخ‌تان به این شکل قابل چک‌شدن است.
`Minimize[{-(x*y+x*z+y*z), x+y+z==-5 && x<=-1 && y<=-1 && z<=-1}, {x, y, z}, Integers]`
که به همان پاسخ ۸ می‌رسید.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...