مساحت چند ضلعی ها_مسئله تقسیم بندی مساحت یک چهار ضلعی

Question

چهار ضلعی $ABCD$ مفروض است(این چهار ضلعی یک چهار ضلعی خاص نیست یعنی متوازی الاضلاع یا ذوزنقه نیست).از راس $A$ پاره خط $AE$ را به ضلع رو به روی راس $A$ رسم کنید تا مساحت این چهارضلعی نصف شود.(در اثر رسم این پاره خط حتما یک مثلث و یک چهار ضلعی دیگر به وجود خواهد آمد.)

Comments

@mmvf20041383 پاسخ را قرار دهید تا در صورت وجود مشکل بتوان با دیدگاه اطلاع رسانی کرد.
چند بار از جمله مساحت فلان مثلث را به فلان خط انتقال می دهیم استفاده کرده اید که به نظرم این جمله نادرست است.
 گام اثبات را نیز انجام دهید. یعنی نشان دهید که $E$ همان نقطه مورد نظر است.

---

بسیار ممنونم که پاسخم را مطالعه کردید.
بله حق با شماست کمی جمله بندی ها دقیق نیستند و به چکش کاری نیاز دارند.

منظور از انتقال مساحت روی پاره خط این بوده که در روی مثلا پاره خط AB مثلثی هم مساحت با مثلث مد نظر می سازیم.

با توجه به این که نقطه E محلی است که نصف مساحت مثلث دوم و نصف مساحت مثلث اول را روی پاره خط AC ساخته است همان نقطه مورد نظر است.این نکته را در ابتدای متن نوشته ام.

---

بیایید پاسختان را بررسی کنیم.

درترسیمتان باید از چهار گام تحلیل، ترسیم، اثبات و بحث استفاده کنید.

تحلیل: در این گام فرض می کنیم مسئله حل شده و اطلاعاتی کسب می کنیم. این گام را شما در ابتدا انجام داده اید:

فرض می کنیم نقطه $E$ روی $CD$ را یافته ایم. از $A$ به $C$ وصل می کنیم. حال میانه وارد بر $CD$ از $A$ را $AN$ می نامیم. به راحتی می توان نشان داد که $CE$ از $CN$ کوچکتر است. و با یک بررسی ساده می توان دید که مساحت مثلث $AEN$ باید نصف مساحت $ABC$ باشد. از طرفی می توان $N$ را به راحتی روی $CD$ یافت پس باید نقطه $E$ را طوری بیابیم که مساحت مثلث$AEN$ نصف $ABC$ باشد.

ترسیم: مرحله ای است که شما شیوه رسم را توضیح می دهید. این گام را نوشته اید.

اثبات: مرحله ای که باید نشان دهید نقطه $E$ همان نقطه مورد نظر است:

چون
$SANE=SCFH= \frac{SABC}{2} =x$

و اگر فرض کنیم $SACE=y$ آنگاه خواهیم داشت:

$SAED=SAEN+SAND=x+x+y=2x+y=SABC+SACE=SABCE$

پس $E$ همان نقطه مورد نظر است.

بحث: شرایط امکان ترسیم و تعداد جواب ها را بررسی می کنیم.

امکان دارد نقطه $F$ همان نقطه  $D$ باشد. در این صورت به تناقض با فرض مسئله خواهیم خورد.

امکان دارد هنگام رسم  خطی موازی با $AC$ به فاصله $BH$ خط مورد نظر امتداد $CD$ را قطع کند.

تعداد جواب ها یکی می باشد.(چرا؟)

---

با سلام مجدد
در مورد پرسشی که چرا این مسئله یک پاسخ دارد باید گفت که  خط موازی با AC که فاصله اش از AC یک مقدار مشخص مثل BC است تنها CD را بر روی خود CD در یک نقطه قطع می کند.

---

@mmvf20041383 خیر منظورم این نبود.
منظورم این است نمی تواند همزمان در شکل  دو نقطه $E$ و $k$ که به ترتیب روی $CD$ و $BC$ هستند باشد به طوری $AE$ و $Ak$ مساحت چهارضلعی موردنظر را نصف کند. این مطلب را با برهان خلف ثابت کنید. پس در پاسختان بنویسید که فرض کرده اید فاصله $B$ از $AC$ کمتر از فاصله$D$ از $AC$ است.