چگونه نمودار رویه های درجه دوم $z=8-x^2-y^2$ و $x^2-y^2=z$ را باید رسم کرد؟

Question

تمرین زیر داده شده‌است.

نمودار رویه‌های درجهٔ دومِ زیر را بکشید.

1. $$z=8-x^2-y^2$$
2. $$x^2-y^2=z$$

با سلام. من نمودار شکل (الف) رو نمی‌دونم چه طور رسم میشه ولی حس می کنم باید شکل سهمی‌وار بیضوی باشه چون فرمولش کمی شبیه اون هست. اما نمی‌تونم رسم کنم.

برای قسمت (ب) نموداری که کشیدم شبیه زین اسب نشده. در صورتی که به ما گفتن شبیه زین اسب هست یعنی بشه سهمی‌وار هذلولوی. ولی اینجا این جوری نشده نمی‌دونم صحیح کشیدم یا نه.

من برای قسمت (ب)، اول $x$ و $y$ و $z$ رو هر کدوم به تنهایی مساوی صفر گذاشتم و ۲ تا سهمی و یه هذلولی شده و $z=k$ قرار دادم.

اما نمی‌دونم که رسم من صحیح هست یا نه. ممنون می‌شم راهنمایی‌ام کنید.

Answer 1

ابتدا نمودار $z=x^{2}+y^{2}$ را رسم می کنیم که یک سهمی گون است . سپس نمودار را نسبت به صفحه $xy$ قرینه می کنیم و در انتها نمودار را $8$ واحد در راستای محور $z$ بالا می بریم :

ضابطه $z=x^{2}-y^{2}$ بیانگر یک زین اسبی به مرکز مبدا مختصات و به شکل زیر است :

Comments

@کیوان عباس زاده . خیلی ممنونم از پاسخ تون.تشکر.
ببخشید میشه لطفا یه کتاب یا یه منبع به من معرفی کنید در مورد این نمودار های رویه های درجه دوم  بیشتر مطالعه کنم ،  برای این که بتونم رسم کنم. ؟ رسم کردنش کمی برام مشکله.

---

خواهش می کنم . کتاب حساب دیفرانسیل و انتگرال آدامز

---

خیلی ممنونم از راهنمایی تون.

---

نقطه
$
(1,0,1)
$
در معادلهٔ دوم صدق می کنه اما به نظر م در نمودار زین اسبی رسم شده قرار ندارد؟

Answer 2

توجه کنید که $z=8-x^2-y^2$ را می‌توانید به شکل $x^2+y^2=(\sqrt{8-z})^2$ بازنویسی کنید. یعنی برای هر مقدار از $z$ که ثابت بردارید یک دایره به مرکز مبدأ و شعاع $\sqrt{8-z}$ در یک صفحهٔ دوبعدی دارید. اگر $z$ بزرگتر از ۸ باشد آنگاه شعاع تعریف نمی‌شود و یعنی مجموعهٔ تهی، پس تنها برای $z$های کوچکتر یا مساوی ۸ یک سری دایره دارید. در $z=8$ تنها یک نقطه است (شعاع صفر) و هر چه $z$ را کمتر می‌کنید، دایره بزرگتر می‌شود. کافیست این نقطه یعنی $(0,0,8)$ و چند دایره را بکشید و سپس چند وصل‌کردن که حس سه‌بعدی به شما بدهد. در زیر شکل این رویهٔ سه‌بعدی و همینطور نقطه و چند دایره را می‌بینید که با نرم‌افزار Maple کشیده شده‌اند. ولی دوباره توجه کنید که می‌توانید راحت با دست نیز یک ترسیم انجام بدهید.

برای رسم دوم به روش یکسان عمل کنید. توجه کنید که این دفعه برای $z$های ثابت دایره ندارید بلکه هذلولوی دارید (البته زمانی که $z=0$ دو خط متقاطع دارید). بهتر است به عنوان تمرین خودتان انجام بدهید و اگر نتوانستید آنگاه بپرسید. برای رسم هذلولوی نیز در صورت فراموشی می‌توانید به کتاب دورهٔ دبیرستان‌تان نگاه کنید.