Question

آیا یک ماتریس معین مثبت متقارن معکوس پذیر است؟؟ اثبات معکوس پذیری ماتریس معین مثبت هرمیتی را دارم ولی برای متقارن نه!

Answer 1

پاسخ شما بله است.

چونAمعین مثبت است، داریم: Xt.A.X>0

X:بردار دلخواه و مخالف صفر Xt:ترانهاده بردار X

چون حاصلضربA در معکوس خودش B, ماتریس یکه I خواهد بودکه مانند عدد 1در ضرب ماتریسها میباشد. Xt.A.B.A.x=( Xt.A)B(AX)=(AX)t.B.(AX)=Yt.B.Y>0

برای نوشتن نامساوی بالا از متقارن بودن A استفاده شده است. Xt.A=(AX)t

نامساوی مذکور نشان می دهد ماتریس Bکه معکوس Aاست،نیز معین مثبت است.

Comments

در اینجا شما در حال بررسی این هستید که «اگر ماتریس متقارنی مثبت‌معین و وارون‌پذیر باشد، آنگاه آیا وارونش نیز مثبت‌معین است؟»، در حالی که پرسش اصلی این است «اگر هر ماتریس متقارن و مثبت‌معینی، وارون‌پذیر است؟»

Answer 2

سلام پاسخ قبلی ربطی نداش اما پاسخ درست: میدانیم که مقادیر ویژه ی ماتریس معین مثبت ، مثبت است. یعنی 0 نمیتواند باشد. لذا دترمینان ماتریس که برابر است با ضرب مقادیر ویژه، مخالف صفر خواهد بود. پس ماتریس معکوس پذیر است